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Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre ce calcul de dérivée ? Merci d'avance

Une entreprise de porcelaine fabrique et vend de la vaisselle. Le bénéfice, en dizaines de milliers d'euros, réalisé lorsqu'elle fabrique et vend x milliers d'assiettes est modélisé par la fonction B définie sur [0 ; 7] par (pièce jointe n°1) :

1.
2. Vérifier que sur [0 ; 7], on a : (pièce jointe n°2)
3. Etudier le signe de B'(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction B.
4. Combien l'entreprise doit-elle produire et vendre d'assiettes pour que son bénéfice soit maximal ?
5. Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?

Merci de votre aide !

Bonjour Pourriez Vous Maider À Résoudre Ce Calcul De Dérivée Merci Davance Une Entreprise De Porcelaine Fabrique Et Vend De La Vaisselle Le Bénéfice En Dizaines class=
Bonjour Pourriez Vous Maider À Résoudre Ce Calcul De Dérivée Merci Davance Une Entreprise De Porcelaine Fabrique Et Vend De La Vaisselle Le Bénéfice En Dizaines class=

Sagot :

Bonjour PrevauLuc 

[tex]1)\ B(x)=\dfrac{x^2-7x+8}{x-8}[/tex]

[tex]2) B'(x)=(\dfrac{x^2-7x+8}{x-8})'\\\\B'(x)=\dfrac{(x^2-7x+8)'\times(x-8)-(x^2-7x+8)\times(x-8)'}{(x-8)^2}\\\\B'(x)=\dfrac{(2x-7)\times(x-8)-(x^2-7x+8)\times(1-0)}{(x-8)^2}\\\\B'(x)=\dfrac{(2x-7)(x-8)-(x^2-7x+8)}{(x-8)^2}\\\\B'(x)=\dfrac{(2x^2-16x-7x+56)-(x^2-7x+8)}{(x-8)^2}\\\\B'(x)=\dfrac{2x^2-16x-7x+56-x^2+7x-8}{(x-8)^2}\\\\\boxed{B'(x)=\dfrac{x^2-16x+48}{(x-8)^2}}[/tex]

3) Signe de B'(x) et variations de B.

[tex]x^2-16x+48=0\\\Delta=(-16)^2-4\times1\times48=256-192=64\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{16-\sqrt{64}}{2}=\dfrac{16-8}{2}=\dfrac{8}{2}=4\\\\x_2=\dfrac{16+\sqrt{64}}{2}=\dfrac{16+8}{2}=\dfrac{24}{2}=12\\\\\\(x-8)^2=0\Longrightarrow x-8=0\Longrightarrow x=8[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&0&&4&&7&&8&&12&& \\ x^2-16x+48&+&+&0&-&-&-&-&-&0&+&\\(x-8)^2&+&+&+&+&+&+&0&+&+&+&\\B'(x)&+&+&0&-&-&||&||&||&||&||\\B(x)&-1&\nearrow&1&\searrow&-8&||&||&||&||&||\\ \end{array}[/tex]

4. Combien l'entreprise doit-elle produire et vendre d'assiettes pour que son bénéfice soit maximal ?

L'entreprise doit produire et vendre 4000 assiettes pour que son bénéfice soit maximal.

5. Quel est alors le montant de ce bénéfice maximal ?

Ce bénéfice maximal s'élève alors à 10 000 €.
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