Découvrez une mine d'informations et obtenez des réponses sur FRstudy.me. Trouvez les réponses dont vous avez besoin rapidement et précisément avec l'aide de nos membres de la communauté bien informés et dévoués.
Sagot :
u_n=(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n))
=(1*2*3*...*(2n-1)*(2n))/(2² *4² *6² *...* (2n)²)
=((2n)!)/((n!)²*2^(2n))
u_1=1/2=0,5
u_2=3/8=0,375
u_3=5/16=0,3125
u_4=35/128=0,273438
u_5=63/256=0,246094
on conjecture que :
* u est décroissante
* u est convergente vers 0
on montre par récurrence que : 0<u_n<1/√(2n+1) :
* Initialisation : u_1=1/2 donc 0<u_1<1/√(2*1+1)
* Hérédité : on suppose qu'il existe n tel que 0<u_n<1/√(2n+1)
donc 0<((2n)!)/((n!)²*2^(2n))<1/√(2n+1)
donc 0*(2n+1)/(4(n+1)²)<*(2n+1)/(4(n+1)²)((2n)!)/((n!)²*2^(2n))<(2n+1)/(4(n+1)²)/√(2n+1)
donc 0<((2n+1)!)/((n+1)!)²*2^(2n+2))<√(2n+1)/(4(n+1)²)
donc 0<((2n+1)!)/((n+1)!)²*2^(2n+2))<1/√(2n+3)
donc 0<u_(n+1)<1/√(2n+3)
* Conclusion : ∀ n ∈ IN : 0<u_n<1/√(2n+1)
or la suite (1/√(2n+1)) est décroissante et convergente vers 0
d'après le th des "gendarmes" : u converge aussi vers 0
de plus, u_n=Γ(n+1/2)/(√π * Γ(n+1)) où Γ est la fonction "Gamma d'EULER"
Merci de nous rejoindre dans cette conversation. N'hésitez pas à revenir à tout moment pour trouver des réponses à vos questions. Continuons à partager nos connaissances et nos expériences. Merci de choisir FRstudy.me. Revenez bientôt pour découvrir encore plus de solutions à toutes vos questions.
