1) si tu prends la fonction f(x)=x² sur un intervalle [-2;+2} cette fonction est dérivable sur R donc sur ]-2;+2[ f(-2)=4 et f(+2)=4 donc f(a)=f(b) sa dérivé f'(x)=2x et j'ai bien un point c ou f'(c)=0 ce sera pour c=x=0 et au point 0 j'ai bien une tangente horizontale de coefficient directeur=0
2) f(x)=k fonction constante donc f(a)=f(b)=k et f'(x)=0 donc il existe bien une valeur de x( ici toutes les valeur) pour laquelle f'(x)=0 donc théoreme vrai
3) a)g non constante si f(a) =f(b) ils peuvent etre tous le 2 des extremums (minimum ou maximum) si tu prends l'exemple x² alors f(-2) et f(2) sont des maximum et ils existera obligatoirement un minimum qui sera 0 mais tu peux avoir aussi un maxi et un minimum puisque la fonction n'est pas constante
b) on te dit que c ou d c'est à dire le mini ou le maxi doit appartenir à intervalle u;v OUVERT car si le point c est par exemple=u et que g(u) =g(c)=maxi donc impossible d'avoir d'avoir notre minimum g(d)=g(u) ou g(v) puisque c'est déjà le maximum et le raisonnement est identique si on prend le minimum en un point c qui serait = au point u alors le maximum ne pourrait pas etre ni en u ni en v donc il faut les exclure de l'intervalle et mettre cet intervalle ouvert
en conclusion on vient de montrer démontrer la properiété de Rolle
