Bonjour Hopeandfaith
1) a) Résoudre dans C l’équation z² - 2z + 2 = 0.
[tex]\Delta=(-2)^2-4\times1\times2=4-8=-4\\\\z_1=\dfrac{2+2i}{2}=\dfrac{2(1+i)}{2}=1+i\\\\z_2=\dfrac{2-2i}{2}=\dfrac{2(1-i)}{2}=1-i[/tex]
L'ensemble des solutions de l'équation est [tex]\boxed{S=\{1+i;1-i\}}[/tex]
[tex]|z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\\\|z_2|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}[/tex]
D'où [tex]\boxed{|z_1|=|z_2|=\sqrt{2}}[/tex]
[tex]z_1=1+i=\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i)=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{2}[\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\arg(z_1)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]}\\\\\\z_2=1-i=\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i)=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i)\\\\\\=\sqrt{2}[\cos(-\dfrac{\pi}{4})+i\sin(-\dfrac{\pi}{4})]\Longrightarrow\boxed{\arg(z_2)=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]}[/tex]
b) (-iz + 3i + 3)² + 2(-iz + 3i + 3) + 2 = 0
Posons Z = -iz + 3i + 3
Alors l'équation s'écrit : Z² + 2Z + 2 = 0 dont les solutions ont été trouvées dans la question 1a)
[tex]Z_1=1+i\Longrightarrow -iz_1+3i+3=1+i\\\\iz_1=2+2i\\\\z_1=\dfrac{2+2i}{i}=2-2i\\\\et\ \ Z_2=1-i\Longrightarrow -iz_2+3i+3=1-i\\\\iz_2=2+4i\\\\z_2=\dfrac{2+4i}{i}=4-2i[/tex]
L'ensemble des solutions de l'équation est [tex]\boxed{S=\{2-2i;4-2i\}}[/tex]
[tex]2)\ a)z_A=\boxed{1+i}\\\\z_B=\overline{z_A}=\boxed{1-i}\\\\z_C=2z_B=\boxed{2-2i}[/tex]
b) Figure en pièce jointe.
c) Montrons que IA = IB = IC.
[tex]IA=|z_A-3|=|1+i-3|=|-2+i|=\sqrt{(-2)^2+1^2}\\\\=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\\\\IB=|z_B-3|=|1-i-3|=|-2-i|\\\\=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\\\\IC=|z_C-3|=|2-2i-3|=|-1-2i|\\\\=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{IA=IB=IC=\sqrt{5}}[/tex]
[tex]d)\ \dfrac{z_C-3}{z_A-3}=\dfrac{-1-2i}{-2+i}=\dfrac{(-1-2i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}\\\\=\dfrac{2+i+4i-2}{4+1}=\dfrac{5i}{5}=i[/tex]
D'où
[tex]|\dfrac{z_C-3}{z_A-3}|=|i|=1\ \ et\ \ (\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IC})=\arg(\dfrac{z_C-3}{z_A-3})=\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}[/tex]
Par conséquent, le triangle IAC est isocèle et rectangle en I.
[tex]e)\ z_E=2(z_C-z_I)=2(2-2i-3)=2(-1-2i)=-2-4i\\\\\boxed{z_E=-2-4i}[/tex]
[tex]f)\ z_D-z_O=e^{i\frac{\pi}{2}}(z_E-z_O)\\\\z_D=i(-2-4i)\\\\\boxed{z_D=4-2i}[/tex]
[tex]g)\ \dfrac{z_{AB}}{z_{CD}}=\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}=\dfrac{(1-i)-(1+i)}{(4-2i)-(2-2i)}=\dfrac{1-i-1-i}{4-2i-2+2i}\\\\=\dfrac{-2i}{2}=-i\\\\\\\Longrightarrow\arg(\dfrac{z_{AB}}{z_{CD}})=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi][/tex]
Par conséquent, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
