Bonjour SoufianBOUAZAMA,
1) La parabole a pour équation y = 6x(1 - x).
y = 0 ==> 6x(1 - x) = 0
==> 6x = 0 ou 1 - x = 0
==> x = 0 ou x = 1
La parabole coupe donc l'axe des abscisses aux points d'abscisse 0 et 1.
Par conséquent l'axe de symétrie admet pour équation x = 1/2, soit x = 0,50.
Puisque la largeur de l'ouverture de la meurtrière vaut 10 cm, elle se situera à 5 cm de part et d'autre de l'axe de symétrie.
5 cm = 0,05 m
D'où les abscisses exprimant les bornes de l'ouverture seront : 0,50 - 0,05 = 0,45 et 0,50 + 0,05 = 0,55.
Par conséquent,
la probabilité que le tireur soit neutralisé est P(0,45 ≤ X ≤ 0,55).
2) Puisque la fonction est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 1], l'aire totale de la meurtrière se calcule par [tex]\int\limits_0^16x(1-x)\,dx[/tex]
[tex]\int\limits_0^16x(1-x)\,dx=6\int\limits_0^1x(1-x)\,dx=6\int\limits_0^1(x-x^2)\,dx\\\\\\=6[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}]\limits_0^1=6[(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^3}{3})-(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{0^3}{3})]\\\\=6[(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})-0]=6[(\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6})]=6\times\dfrac{1}{6}=1[/tex]
D'où,
[tex]\boxed{\int\limits_0^16x(1-x)\,dx=1}[/tex]
Par conséquent, l'aire totale de la meurtrière est égale à 1 unité d'aire.
[tex]3) P(0,45\le X\le 0,55)=\int\limits_{0,45}^{0,55}6x(1-x)\,dx\\\\P(0,45\le X\le 0,55)=\int\limits_{0,45}^{0,55}6x(1-x)\,dx\\\\P(0,45\le X\le 0,55)=6[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}]\limits_{0,45}^{0,55}\\\\P(0,45\le X\le 0,55)=6[\dfrac{3x^2}{6}-\dfrac{2x^3}{6}]\limits_{0,45}^{0,55}\\\\P(0,45\le X\le 0,55)=6[\dfrac{3x^2-2x^3}{6}]\limits_{0,45}^{0,55}\\\\P(0,45\le X\le 0,55)=[3x^2-2x^3]\limits_{0,45}^{0,55}[/tex]
P(0,45 ≤ X ≤ 0,55)=(3 x 0,55²-2 x 0,55³)-(3 x 0,45²-2 x 0,45³)
[tex]\boxed{P(0,45\le X\le 0,55)=0,1495}[/tex]
Par conséquent la probabilité que le tireur soit neutralisé est égale à 0,1495.
Remarque :
La vérification proposée dans la synthèse a été effectuée dans la question 2.
