Bonjour,
1a) Puisque A et B sont sur un même cercle de centre O, OA=OB donc AOB est isocèle en O.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux donc OAB=OBA
Or OAB+OBA+AOB=180 donc 2xOAB=180-AOB=180-60=120
Donc OAB=AOB=AOB=60° : le triangle est équilatéral.
1b) On en déduit que chaque côté de l'hexagone est égal au rayon donc le périmètre fait 6x10=60m
2) AOC=AOB+BOC=60+60=120
ABC=ABO+OBC=60+60=120
OAB=60 et OCB=60
donc AOC=ABC et OAB=ACB
Les angles opposés sont égaux 2 à 2 donc OABC est un parallèlogramme
Or OA=AB=BC=CO donc OABC est un losange
3a) F, A et C sont sur le cercle et O est le milieu de FC. Donc le cercle est circonscrit au triangle FAC.
Or, dans un triangle si le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'un des côtés alors ce triangle est rectangle. Donc FAC est rectangle en A.
3b) Par Pythagore :
FC²=FA²+AC²
AC²=FC²-FA²=20²-10²=400-100=300
AC≈17,32
4) L'aire de la scène est égale à la somme des aires des losanges OABC, OCDE et OEFA.
Ces 3 aires sont égales
Aire de OABC=OBxAC/2=10x√300/2=5√300
Donc Aire de la scène = 3x5√300=15√300≈259,81 m²
