Exercice 1
1°) A et B sont 2 sommets consécutifs du décagone régulier donc
angle BOA = 360/10 = 36°
2°) Le triangle ABO a 2 cotés égaux, égal au rayon du cercle donc OA = OB
d'où le triangle ABO est isocèle en O. Donc les angle OAB et OBA sont égaux, et dans un triangle la somme des angles égal 180°.
Donc
Angle BOA + 2xangle OAB = 180
2xangle OAB = 180 - angle BOA
angle OAB = (180 - 36)/2
angle OAB = (180 - 36)/2
angle OAB = 72°
3°) Propriété : Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle du l'angle inscrit.
ici l'angle au centre est l'angle BOA et l'angle inscrit est l'angle AIB. les 2 angles interceptent l'arc AB, donc
angle BOA = 2 x angle AIB
d'où
angle AIB = angle BOA/2
angle AIB = 36/2
angle AIB = 18°
4°) Définition : 2 angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, ils ont un coté commun et sont situés de part et d'autre de ce coté commun.
Ici le triangle BOD est composé des triangles BOC et COD donc les angles BOC et COD ont même sommet (O), un coté commun (OC) et sont situés de par et d'autre de coté, ils sont donc adjacents.
D'où
Angle BOD = angle BOC + angle COD
or ABCDEFGHIJ est un décagone régulier donc angle BOC = angle COD = angle BOA
d'où
Angle BOD = 2 x angle BOA
Angle BOD = 2 x 36
Angle BOD = 72°
5°) Théorème : si un des cotés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle (le diamètre du cercle circonscrit est alors son hypoténuse).
Les points A, H et F appartiennent au cercle. De plus les points A, O et F sont alignés.
Donc le triangle AHF est circonscrit dans le cercle et le segment [AF] est le diamètre de ce cercle. Donc le triangle AHF est un triangle rectangle en H dont l'hypoténuse est [AF].
d'où
angle AHF = 90°
