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Sagot :
Bonjour ,
1) (ln x/ ln x+1)´ = (f/g)' avec f(x) = lnx et g(x) = ln (x+1) = ln u avec u=x+1 donc u' = 1
en supposant que la parenthèse oubliée est bien là:
lnx/ln(x+1) (1è possibilité) et non pas lnx / [(lnx)+1] (2è possibilité)
dans les deux cas la méthode est la même mais pas les fonctions donc pas les dérivées non plus. Donc, pour la 1è possibilité:
(f/g)' = (f'g-fg')/g²
f'(x) = 1/x et g'(x) = u'/u = 1/(x+1)
donc on a f'g = (1/x)ln(x+1) et fg' = (lnx)/(x+1); g²=ln²(x+1)
donc la dérivée cherchée est : [(1/x)ln(x+1) - (lnx)/(x+1)] / ln²(x+1)
Mettons le numérateur au même dénominateur donc x(x+1) :
{[ (x+1)ln(x+1) - xlnx] /[x(x+1)]}/ ln²(x+1)
= [ (x+1)ln(x+1) - xlnx] / [x(x+1)ln²(x+1)]
2) pareil, on est obligé de faire une supposition sur ton énoncé ambiguë :
2) (e^2x / e^2x + 1) = e²ˣ / e²ˣ⁺¹ 1è possibilité
ou
(e^2x / e^2x + 1) = e²ˣ / (e²ˣ +1) 2è possibilité
Ici j'opte pour la 2è possibilité :
on a toujours f/g avec f(x) = e²ˣ et g(x) = (e²ˣ +1)
(e puissance u)' = u' e puissance u avec u = 2x donc u' = 2
donc f'(x) = 2e²ˣ et g'(x) = 2e²ˣ logique puisque g(x) = f(x) +1
f'g - fg' = 2e²ˣ (e²ˣ +1) - e²ˣ * 2e²ˣ avec * qui veut dire fois
= 2e²ˣ (e²ˣ +1) - 2e²ˣ * e²ˣ
= 2e²ˣ (e²ˣ +1 - e²ˣ)
= 2e²ˣ
On divise par g² :
2e²ˣ / (e²ˣ +1)² et on obtient la dérivée cherchée.
1) (ln x/ ln x+1)´ = (f/g)' avec f(x) = lnx et g(x) = ln (x+1) = ln u avec u=x+1 donc u' = 1
en supposant que la parenthèse oubliée est bien là:
lnx/ln(x+1) (1è possibilité) et non pas lnx / [(lnx)+1] (2è possibilité)
dans les deux cas la méthode est la même mais pas les fonctions donc pas les dérivées non plus. Donc, pour la 1è possibilité:
(f/g)' = (f'g-fg')/g²
f'(x) = 1/x et g'(x) = u'/u = 1/(x+1)
donc on a f'g = (1/x)ln(x+1) et fg' = (lnx)/(x+1); g²=ln²(x+1)
donc la dérivée cherchée est : [(1/x)ln(x+1) - (lnx)/(x+1)] / ln²(x+1)
Mettons le numérateur au même dénominateur donc x(x+1) :
{[ (x+1)ln(x+1) - xlnx] /[x(x+1)]}/ ln²(x+1)
= [ (x+1)ln(x+1) - xlnx] / [x(x+1)ln²(x+1)]
2) pareil, on est obligé de faire une supposition sur ton énoncé ambiguë :
2) (e^2x / e^2x + 1) = e²ˣ / e²ˣ⁺¹ 1è possibilité
ou
(e^2x / e^2x + 1) = e²ˣ / (e²ˣ +1) 2è possibilité
Ici j'opte pour la 2è possibilité :
on a toujours f/g avec f(x) = e²ˣ et g(x) = (e²ˣ +1)
(e puissance u)' = u' e puissance u avec u = 2x donc u' = 2
donc f'(x) = 2e²ˣ et g'(x) = 2e²ˣ logique puisque g(x) = f(x) +1
f'g - fg' = 2e²ˣ (e²ˣ +1) - e²ˣ * 2e²ˣ avec * qui veut dire fois
= 2e²ˣ (e²ˣ +1) - 2e²ˣ * e²ˣ
= 2e²ˣ (e²ˣ +1 - e²ˣ)
= 2e²ˣ
On divise par g² :
2e²ˣ / (e²ˣ +1)² et on obtient la dérivée cherchée.
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