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bonjour Voici l'énoncé d'un exercice où j'ai quelques difficultés:
ABCD est un tétraèdre, E est le milieu de [BD], F est au tiers de [CD] à partir de D et G est au tiers de [AD] à partir de A.1) faire la figure2) a) démontrer que la droit (EG) est sécante au plan ABCb) détermnier l'intersection de (EG) et ABC (Noter R ce point)3) determiner l'intersction de (EF) et ABC, puis de (FG) avec ABC ( Noter S et T les points).4) démontrer que les points R, S, T sont alignés.surtout la figure le 2 et le 4.
En attente de votre réponse!!

Sagot :

Caylus
Bonjour,

Voici une autre méthode:

[tex]O=A\\ \vec{OB}=\vec{u}\\ \vec{OC}=\vec{v}\\ \vec{OD}=\vec{w}\\ F=\dfrac{\vec{DC}}{3}==\textgreater\ \vec{OF}=\dfrac{\vec{v}}{3}+\dfrac{2*\vec{w}}{3}\\ G=\dfrac{\vec{AD}}{3}==\textgreater\ \vec{OG}=\dfrac{\vec{w}}{3}\\ E=mil[DB] \\[/tex]
[tex]==\textgreater\\ \vec{OE}=\dfrac{\vec{OB}+\vec{OD}}{2}=\dfrac{\vec{u}+\vec{v}}{2} \\ \vec{OG}=\dfrac{\vec{OD}}{3}=\dfrac{\vec{w}}{3}\\ \vec{GE}=\vec{GO}+\vec{OE}=\dfrac{\vec{u}}{2}+\dfrac{\vec{w}}{6}\\ \vec{EF}=\dfrac{-\vec{u}}{2}+\dfrac{\vec{v}}{3}+\dfrac{\vec{w}}{6}\\ \vec{GF}=\dfrac{\vec{v}}{3}+\dfrac{\vec{w}}{3}\\ [/tex]
[tex]2a)\\ Le\ plan\ ABC\ :\ \vec{OP}=a*\vec{u}+b*\vec{v}+0*\vec{w}\\ La\ droite\ (GE)\ :\ \vec{OP}=\vec{OG}+k_1*\vec{GE}\\ =\dfrac{\vec{w}}{3}+k_1*\dfrac{k\vec{u}}{2}+k_1*\dfrac{-\vec{w}}{6}\\ =k_1*\dfrac{\vec{u}}{2}+\dfrac{\vec{w}*(2+k_1)}{6}\\ L'intersection\ ABC et\ (GE) \ est:\\ a=\dfrac{k_1}{2}\\ b=0\\ 0=2+k_1==\textgreater\ k_1=-2==\textgreater \ a=-1\\ Le\ point\ de\ perc\'ee\ de\ GE\ dans\ le\ plan\ ABC\ est\ -\vec{u}+0*\vec{v}+0*\vec{w}\\\\ \boxed{\vec{OR}=-\vec{u}}\\\\\\ [/tex]
[tex]2b) R\est\ donc \ un\ point\ de\ (OB).\\\\\\ 3a)\\ Intersection\ de\ (EF)\ et\ ABC\ :\ \\ [/tex]
[tex]Le\ plan\ ABC \ : \vec {OP} =a * \vec{u} + b * \vec{v}+0*\vec{w}\\ La\ droite\ (EF)\ :\ \vec{OP}=\vec{OE}+k*\vec{EF}\\ =(1-k)*\dfrac{\vec{u}}{2}+k*\dfrac{\vec{v}}{3}+(3+k)*\dfrac{\vec{w}}{6}\\ 0=3+k==\textgreater\ k=-3\\ a=\dfrac{1-k}{2}=2\\ b=\dfrac{k}{3}=-1\\\\ \boxed {\vec{OS}=2 * \vec {u} - \vec {v}} [/tex]
[tex]Intersection\ de\ (FG)\ et\ ABC\ :\ \\ Le\ plan\ ABC\ :\ \vec{OP}=a*\vec{u}+b*\vec{v}+0*\vec{w}\\ La\ droite\ (FG)\ :\ \vec{OP}=\dfrac{\vec{w}}{3}+k*(\dfrac{\vec{v}}{3}+\dfrac{\vec{w}}{3})\\ =k*\dfrac{\vec{v}}{3}+(1+k)\dfrac{\vec{w}}{3}\\ 0=1+k==\textgreater\ k=-1\\ a=0\\ b=\dfrac{-1}{3}\\ \boxed{\vec{OT}=\dfrac{-\vec{v}}{3}} [/tex]

[tex]4)\\ \ d\'e montrer\ que\ les\ points\ R,\ S,\ T\ sont\ align\'es.\\\\ \vec{OR}=-\vec{u}\\ \vec{OS}=2*\vec{u}-\vec{v}\\ \vec{OT}=-\dfrac{\vec{v}}{3}\\\\ \vec{RT}=\vec{u}-\dfrac{\vec{v}}{3}\\ \vec{RS}=3*\vec{u}-\vec{v}\\\\ \vec{RS}=k*\vec{RT}\ avec\ k=3\ \\ les\ points\ R,\ S,\ T\ sont\ donc \ align\'es.\\\\ [/tex]





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