Bonjour,
On peut (doit) remarquer que : Un = 1/3 (n^3 -n) = 1/3 n (n^2 -1) = 1/3 n (n-1)(n+1)
D'où Un+1 - Un = 1/3 (n+1)(n)(n+2) - 1/3n (n-1)(n+1) = 1/3 n (n+1) [(n+2) - (n-1)] = n (n+1)
Recurrence:
U0 = 0 ; U1 = 0 ; U2 = 2
La propriété est bien vérifiée au rang 0.
On suppose qu'elle est vraie au rang n.
Un+1 -Un = n (n+1)
Donc Un+1 = n (n+1) - Un
n (n+1) et Un sont des entiers naturels. Donc Un+1, différence de deux entiers, est également un entier naturel.
L'hypothèse de récurrence est donc démontrée : pour tout n appartenant à N, Un appartient à N
