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Laurianedecock
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Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice de recurrence je ne comprends pas ce qu'on me demande, voici l'exo:
(Un) est la suite définie par Un= (n^3-n)/3.
1) Calculer Un+1-Un en fonction de n, Un est un entier naturel.
2) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un est un entier naturel.
Donc voilà si quelqu'un peut m'aider, merci.

Sagot :

Scoladan
Bonjour, On peut (doit) remarquer que : Un = 1/3 (n^3 -n) = 1/3 n (n^2 -1) = 1/3 n (n-1)(n+1) D'où Un+1 - Un = 1/3 (n+1)(n)(n+2) - 1/3n (n-1)(n+1) = 1/3 n (n+1) [(n+2) - (n-1)] = n (n+1) Recurrence: U0 = 0 ; U1 = 0 ; U2 = 2 La propriété est bien vérifiée au rang 0. On suppose qu'elle est vraie au rang n. Un+1 -Un = n (n+1) Donc Un+1 = n (n+1) - Un n (n+1) et Un sont des entiers naturels. Donc Un+1, différence de deux entiers, est également un entier naturel. L'hypothèse de récurrence est donc démontrée : pour tout n appartenant à N, Un appartient à N
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