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Vinaigrette
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Bonjour s'il vous plaît j'ai vraiment besoin d'aide pour mon exercice que je dois rendre demain..

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=2x³-15x²+24x+9
1. Déterminer le centre de symétrie S de la courbe représentative de la fonction f.
2.Déterminer les variations de la fonction f sur R.
3.Préciser les extremums locaux.
4.Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point S.
5.Montrer que f(x)=(x-3)(2x²-9x-3). En déduire les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f et de l'axe des abscisses.

Sagot :

Laurance
1)  f '(x)= 6x ² - 30x   + 24   f''(x)= 12x -30 =6(2x-5)  
f''(x)= 0    pour  x = 5/2       et  f(5/2)= 2(5/2)^3-15*(5/2)² +24*5/2  + 9
f(5/2)= 125/4   - 15* 25 /4   + 60 +9 = -250/4  + 69 =  -125/2  + 138/2  = 13/2
S( 5/2  ; 13/2)  
2)f '(x)= 6(x²-5x+4)=6(x-1)(x-4)  
f est donc croissante  pour x <1  et  x > 4   
f est  décroissante   pour  1<x<4 
3)minimum local    f(4)= -7     maximum local    f(1)= 20
4) f '(5/2)= 6(3/2)*(-3/2)= -54/4  = -27/2  
5)  (x-3)(2x² -9x-3)= 2x^3-9x²-3x-6x²+27x+9 = 2x³-15x²+24x+9 =f(x)
f(x)=0  si 
x=3   ou si    2x² -9x = 3      x² -9/2x = 3/2
(x -  9/4)² -81/16 = 3/2= 24/16 
(x -9 /4)²  = 105/16   
x = 9/4  +√105  /4     ou  x = 9/4 - √105   / 4 
les trois  ( 9/4  +√105  /4 ,  0 )points   ( 3 ,0 )   ( 9/4  -√105  /4 ,  0 )    
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