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Bonsoir j'ai vraiment besoin d'aide pour un devoir maison je ne comprend pas si tout je n'y arrive pas voici l'énoncé

On définit une suite (Un) en posant pour tout entier naturel n non nul
k=n
Un= ∑ 1/k(k+1)
k=1
1)calculer les 3 premiers termes de cette suite

2) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,Un=1 - 1/n+1

3)a) déterminer les réels a et b tels que pour tout entier naturel k non nul , 1/k(k+1)=a/k + b/k+1

b) retrouver alors le résultat de la question 2) sans récurrence

Sagot :

Scoladan
Bonjour, 1) U1 = 1/1(1+1) = 1/2 U2 = 1/1(1+1) + 1/2(2+1) = 1/6 U3 = 1/6 + 1/3(3+1) = 1/6 + 1/12 = 1/4 2) Initialisation U1 = 1/2 et 1 -1/(1+1) =1 -1/2 = 1/2 Un+1 = Un + 1/(n+1)(n+2) (d'après la définition de Un) Un+1 = 1 - 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) (d'après l'hypothèse de recurrence). Un+1 = 1 - 1/(n+1)(n+2) [(n+2) -1] Un+1 = 1 - 1/(n+2) = 1 - 1 ((n+1) +1) --> hérédité démontrée.
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