Bonjour Wendy14
1) Une suite de réels strictement croissante peut être majorée.
Exemple : la suite (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels par [tex]U_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2}[/tex]
On peut facilement montrer que cette suite est strictement croissante et est majorée par 2.
2) Une suite d'entiers naturels strictement croissante ne peut pas être majorée.
En effet, montrons par récurrence que si [tex](U_n)_{n\ge0}[/tex] est une suite d'entiers naturels strictement croissante, alors [tex]U_n\ge n[/tex] pour tout nombre naturel n.
Initialisation : Montrons que la relation est vraie pour n = 0.
[tex]U_0\ge0[/tex]
L’initialisation est évidemment vraie car U0 est une nombre naturel.
Hérédité :
Si pour une nombre naturel n, nous avons : [tex]U_n\ge n[/tex], montrons que [tex]U_{n+1}\ge n+1[/tex]
En effet :
[tex]U_{n+1}\ \textgreater \ U_n[/tex] car la suite (Un) est strictement croissante.
[tex]U_n\ge n[/tex] par hypothèse de récurrence.
D'où :
[tex]U_{n+1}\ \textgreater \ U_n\ge n\\\\\Longrightarrow U_{n+1}\ \textgreater \ n\\\\\Longrightarrow U_{n+1}\ge n+1[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Donc,
si [tex](U_n)_{n\ge0}[/tex] est une suite d'entiers naturels strictement croissante, alors [tex]U_n\ge n[/tex] pour tout nombre naturel n.
Puisque [tex]U_n\ge n\ \ et\ \ \lim\limits_{n\to+\infty}}n=+\infty[/tex],
on en déduit que [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}}U_n=+\infty[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) ne peut pas être majorée.
