Exo 72:
1) A partir du tableau de variation, on lit :
f(1) = -5
f(-1)= 0
f(0)= 3
f(3) = 1
2) Le maximum de f sur [-1;3] est 3 et est atteint pour x=0
3) Le minimum de f sur [-1;3] est -5 et est atteint pour x=1
4) Pour x ∈ [0;1] , -5 ≤ f(x) ≤ 3
5) Pour x ∈ [-1;3] , on a aussi -5 ≤ f(x) ≤ 3
6)
-1 ≤ -0.5 ≤ 0 donc comme f est croissante sur cet intervalle, on a
f(-1) ≤ f(-0.5) ≤ f(0) donc 0 ≤ f(-0.5) ≤ 3
0 ≤ 0.8 ≤ 1 donc comme f est décroissante sur cet intervalle, on a
f(0) ≥ f(0.8) ≥ f(1) donc 3 ≥ f(0.8) ≥ -5
1 ≤ 2.1 ≤ 3 donc comme f est croissante sur cet intervalle, on a
f(1) ≤ f(2.1) ≤ f(3) donc -5 ≤ f(2.1) ≤ 1
Exo 77:
1) 1200 kg a vendre à 1€ le kilo : Il pourrait toucher 1200 € en vendant le 1er juin
2) 1 jour d'attente : 1260 kg à vendre à 0.98 €/kg : Il touchera 0.98*1260= 1234.8 €
5 jours d'attente : 1200 + 5*60 = 1500 kg à vendre à 1-5*0.02= 0.9 € le kilo : Il touchera 1350 €
10 jours d'attente : 1200 + 10*60 = 1800 kg à vendre à 1-10*0.02= 0.8 € le kilo : Il touchera 1440 €
3)
a) Nombre de kilos à vendre au bout de n jours = 1200 + 60*n
Prix du kilo vendu au bout de n jours = 1 - 0.02*n
b) La recette totale en euros est alors :
R(n)=(1200+60n)*(1-0.02n) = 1200 - 24n + 60n - 1.2n² = -1.2n² + 36n + 1200
4)
a) Graphiquement, la recette maximale est d'environ 1500 €
b) La recette sera à nouveau de 1200 € au bout de 30 jours d'attente
c) Le producteur n'a pas intérêt à attendre plus de 30 jours car ses gains seraient inférieur à ceux qu'il aurait pu obtenir en récoltant le premier jour.
Exo 85 :
1)
a) ABC est rectangle isocèle en A donc l'angle (ACB) = l'angle (ABC) = 45°
MNPQ est un rectangle donc (NMQ) est un angle droit et donc (NMB) aussi.
(NBM) = 45 °
(NMB) = 90 °
Donc (BNM) = 180° - 90° - 45° = 45° d'ou le triangle BMN est un triangle isocèle rectangle en M et donc MN = BM
b) En suivant le même raisonnement que le a), on peut montrer que QP=QC.
Or MN = QP car MNPQ est un rectangle donc BM = MN = QP = QC
On a bien BM = QC
2) a) BC = 9 ; I est le milieu de [BC] donc BI = 9/2 = 4.5. Or M appartient au segment [BI] et on note x = BM donc x est compris entre 0 et 4.5. Donc x ∈ [0;4.5]
b) BM = MN = x et QC = BM = x
Donc MQ = BC - BM - QC = 9 - x - x = 9 - 2x
c) Aire de MNPQ : f(x) = MN * MQ = x*(9 - 2x) = 9x - 2x²
3) f(9/4) = 9(9/4) - 2*(9/4)² = 81/4 - 81/8 = 162/8 - 81/8 = 81/8 = 10.125
4) Voir pièce jointe
5) 81/8 -2(x-9/4)² = 81/8 - 2(x² + 81/16 - (9/2)*x) = 81/8 - 2x² - 81/8 +9x = -2x² + 9x = f(x)/
f(x) est maximum quand 81/8 -2(x-9/4)² est maximum
81/8 -2(x-9/4)² est maximum quand 2(x-9/4)² est minimum donc quand x-9/4=0
Or x-9/4 = 0 ⇔ x=9/4
Donc L'aire est max pour x = 9/4
On a calculé que f(9/4) = 10.125
La valeur max de l'aire est donc 10.125
