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Sagot :
Bonjour Jagger21
A) justifier que Pn+1=0,9975Pn+0,25
Le calcul du nombre d'habitants d'une année à la suivante se déroule en deux étapes.
D'abord, l'application du taux d'accroissement naturel constant égal à -2,5 pour 1000.
Dans le cas d'un tel taux, le coefficient multiplicateur est 1 - 2,5/1000 = 1 - 0,0025 = 0,9975.
Donc, sans tenir compte de la migration nette, nous avons le calcul suivant :
[tex]P_{n+1}=0,9975\times P_n[/tex]
La second étape du calcul se fait en ajoutant la migration nette de 250 000 habitants, soit 0,25 millions d'habitants.
Par conséquent,
[tex]\boxed{P_{n+1}=0,9975\times P_n+0,25}[/tex]
B) déterminer Po, P1, P2. Quelle est alors la nature de la suite (Pn)?
[tex]P_0=82,162\\P_1=0,9975\times P_0+0,25=0,9975\times 82,162+0,25=82,206595\\P_2=0,9975\times P_1+0,25=0,9975\times 82,206595+0,25=82,25107851\\\Longrightarrow P_2\approx82,251079[/tex]
Montrons que la suite n'est pas une suite arithmétique.
[tex]P_1-P_0=82,206595-82,162=0,044595\\P_2-P_1=82,25107851-82,206595=0,04448351\\\\\Longrightarrow \boxed{P_1-P_0\neq P_2-P_1}[/tex]
D'où, la suite (Pn) n'est pas une suite arithmétique.
Montrons que la suite n'est pas une suite géométrique.
[tex]\dfrac{P_1}{P_0}=\dfrac{82,206595}{82,162}\approx1,000542769\\\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{82,25107851}{82,206595}\approx1,000541119\\\\\Longrightarrow \boxed{\dfrac{P_1}{P_0}\neq \dfrac{P_2}{P_1}}[/tex]
D'où, la suite (Pn) n'est pas une suite géométrique.
C) on considère la suite (Vn) définie par Vn=Pn-100
1) déterminer Vo, V1, V2, V1/V0 et V2/V1. Que peut-on conjecturer ?
[tex]V_n=P_n-100\\\\V_0=P_0-100=82,162-100=-17,838\\V_1=P_1-100=82,206595-100=-17,793405\\V_2=P_2-100=82,25107851-100=-17,74892149\\\\\dfrac{V_1}{V_0}=\dfrac{-17,793405}{-17,838}=0,9975\\\\\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{-17,74892149}{-17,793405}\approx0,9975[/tex]
Puisque les quotients V1/V0 et V2/V1 sont presque égaux, on peut conjecturer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
2) démontrer cette conjecture
Pour tout enter naturel n,
[tex]\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=\dfrac{P_{n+1}-100}{P_n-100}=\dfrac{0,9975P_{n}+0,25-100}{P_n-100}=\dfrac{0,9975P_{n}-99,75}{P_n-100}\\\\\\=\dfrac{0,9975P_{n}-0,9975\times100}{P_n-100}=\dfrac{0,9975(P_{n}-100)}{P_n-100}=0,9975\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=0,9975}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,9975 et dont le premier terme est V0 = P0 - 100 = 82,162-100 = -17,838.
3) en déduire une expression de Vn en fonction de n
[tex]V_n=V_0\times q^n\\\\\boxed{V_n=-17,838\times0,9975^n}[/tex]
4) en déduire une expression Pn en fonction de n .
[tex]V_n=P_n-100\Longrightarrow P_n=V_n+100\\\\\Longrightarrow P_n=-17,838\times0,9975^n+100\\\\\Longrightarrow \boxed{P_n=100-17,838\times0,9975^n}[/tex]
D) calculer la limite de (Pn) lorsque n devient très grand. Que peut on déduire pour la population allemande à très long terme .
Puisque 0 < 0,9975 < 1, nous savons que
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}0,9975^n=0\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}17,838\times0,9975^n=0}[/tex]
D'où
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(100)-\lim\limits_{n\to+\infty}17,838\times0,9975^n)\\\\=100-0=100[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=100}[/tex]
A très long terme, la population allemande se rapprochera de 100 millions d'habitants.
A) justifier que Pn+1=0,9975Pn+0,25
Le calcul du nombre d'habitants d'une année à la suivante se déroule en deux étapes.
D'abord, l'application du taux d'accroissement naturel constant égal à -2,5 pour 1000.
Dans le cas d'un tel taux, le coefficient multiplicateur est 1 - 2,5/1000 = 1 - 0,0025 = 0,9975.
Donc, sans tenir compte de la migration nette, nous avons le calcul suivant :
[tex]P_{n+1}=0,9975\times P_n[/tex]
La second étape du calcul se fait en ajoutant la migration nette de 250 000 habitants, soit 0,25 millions d'habitants.
Par conséquent,
[tex]\boxed{P_{n+1}=0,9975\times P_n+0,25}[/tex]
B) déterminer Po, P1, P2. Quelle est alors la nature de la suite (Pn)?
[tex]P_0=82,162\\P_1=0,9975\times P_0+0,25=0,9975\times 82,162+0,25=82,206595\\P_2=0,9975\times P_1+0,25=0,9975\times 82,206595+0,25=82,25107851\\\Longrightarrow P_2\approx82,251079[/tex]
Montrons que la suite n'est pas une suite arithmétique.
[tex]P_1-P_0=82,206595-82,162=0,044595\\P_2-P_1=82,25107851-82,206595=0,04448351\\\\\Longrightarrow \boxed{P_1-P_0\neq P_2-P_1}[/tex]
D'où, la suite (Pn) n'est pas une suite arithmétique.
Montrons que la suite n'est pas une suite géométrique.
[tex]\dfrac{P_1}{P_0}=\dfrac{82,206595}{82,162}\approx1,000542769\\\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{82,25107851}{82,206595}\approx1,000541119\\\\\Longrightarrow \boxed{\dfrac{P_1}{P_0}\neq \dfrac{P_2}{P_1}}[/tex]
D'où, la suite (Pn) n'est pas une suite géométrique.
C) on considère la suite (Vn) définie par Vn=Pn-100
1) déterminer Vo, V1, V2, V1/V0 et V2/V1. Que peut-on conjecturer ?
[tex]V_n=P_n-100\\\\V_0=P_0-100=82,162-100=-17,838\\V_1=P_1-100=82,206595-100=-17,793405\\V_2=P_2-100=82,25107851-100=-17,74892149\\\\\dfrac{V_1}{V_0}=\dfrac{-17,793405}{-17,838}=0,9975\\\\\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{-17,74892149}{-17,793405}\approx0,9975[/tex]
Puisque les quotients V1/V0 et V2/V1 sont presque égaux, on peut conjecturer que la suite (Vn) est une suite géométrique.
2) démontrer cette conjecture
Pour tout enter naturel n,
[tex]\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=\dfrac{P_{n+1}-100}{P_n-100}=\dfrac{0,9975P_{n}+0,25-100}{P_n-100}=\dfrac{0,9975P_{n}-99,75}{P_n-100}\\\\\\=\dfrac{0,9975P_{n}-0,9975\times100}{P_n-100}=\dfrac{0,9975(P_{n}-100)}{P_n-100}=0,9975\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{V_{n+1}}{V_n}=0,9975}[/tex]
Par conséquent, la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,9975 et dont le premier terme est V0 = P0 - 100 = 82,162-100 = -17,838.
3) en déduire une expression de Vn en fonction de n
[tex]V_n=V_0\times q^n\\\\\boxed{V_n=-17,838\times0,9975^n}[/tex]
4) en déduire une expression Pn en fonction de n .
[tex]V_n=P_n-100\Longrightarrow P_n=V_n+100\\\\\Longrightarrow P_n=-17,838\times0,9975^n+100\\\\\Longrightarrow \boxed{P_n=100-17,838\times0,9975^n}[/tex]
D) calculer la limite de (Pn) lorsque n devient très grand. Que peut on déduire pour la population allemande à très long terme .
Puisque 0 < 0,9975 < 1, nous savons que
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}0,9975^n=0\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}17,838\times0,9975^n=0}[/tex]
D'où
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(100)-\lim\limits_{n\to+\infty}17,838\times0,9975^n)\\\\=100-0=100[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=100}[/tex]
A très long terme, la population allemande se rapprochera de 100 millions d'habitants.
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