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Bonjour mes amies j'ai besoin a votre aide ! J'ai un DM à faire pour le 06/10/16 et je n'ai rien compris aider moi svp !

Une route est située à 40m parallèlement à une rivière. Un éleveur possède le terrain situé entre les deux. Il souhaite y délimiter une parcelle rectangulaire en s'appuyant sur la rivière pour un des côtés. Il dispose de 105 mètres de fil et souhaite obtenir une surface maximale.

On cherche à connaître la longueur AB afin de rendre l'aire du rectangle ABCD maximale. On note x la longueur AB en mètres.

1) A quel intervalle appartient x ?
2) Exprimer la longueur BC en fonction de x.
3) Exprimer l'aire A ( x ) du rectangle ABCD en fonction de x.
4) Déterminer la valeur précise de x pour que l'aire soit maximale. Détailler votre raisonnement.

Bonjour Mes Amies Jai Besoin A Votre Aide Jai Un DM À Faire Pour Le 061016 Et Je Nai Rien Compris Aider Moi Svp Une Route Est Située À 40m Parallèlement À Une R class=

Sagot :

Bonjour Bayram89 

On cherche à connaître la longueur AB afin de rendre l'aire du rectangle ABCD maximale. On note x la longueur AB en mètres.

1) A quel intervalle appartient x ?

[tex]\boxed{x\in[0;40]}[/tex]

2) Exprimer la longueur BC en fonction de x.

[tex]AB+BC+CD=105\\\\x+BC+x=105\\\\BC+2x=105\\\\\boxed{BC=105-2x}[/tex]

3) Exprimer l'aire A ( x ) du rectangle ABCD en fonction de x.

[tex]Aire_{ABCD}=AB\times BC\\\\\boxed{A(x)=x(105-2x)}[/tex]

4) Déterminer la valeur précise de x pour que l'aire soit maximale. Détailler votre raisonnement.

Ecrivons A(x) sous forme canonique.

[tex]A(x)=x(105-2x)\\\\A(x)=-2x^2+105x\\\\A(x)=-2(x^2-\dfrac{105}{2}x)\\\\A(x)=-2(x^2-2\times\dfrac{105}{4}x)\\\\A(x)=-2[(x^2-2\times\dfrac{105}{4}x+(\dfrac{105}{4})^2)-(\dfrac{105}{4})^2]\\\\A(x)=-2[(x-\dfrac{105}{4})^2-\dfrac{11025}{16}]\\\\A(x)=-2(x-\dfrac{105}{4})^2-2\times(-\dfrac{11025}{16})\\\\\boxed{A(x)=-2(x-\dfrac{105}{4})^2+\dfrac{11025}{8}}[/tex]

Par conséquent, 

A(x) admettra un maximum égal à 11025/8 = 1378,125 pour x = 105/4 = 26,25

soit

l'aire sera maximale si x = 26,25 m.
(Cette aire vaudra 1378,125 m²)
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