Bonjour ,
Tu verras plus tard dans ta scolarité que cette suite est une suite contractante.
Pour la premiere question , tu place U0 sur le grph , tu remonte jusqu'a CF puis tu vas jusqu'a y=X : Tu Obtient ainsi U1 (=2,5)
De même , tu remonte de U1 jusqu'a CF puis tu vas jusqu'a y=X , tu trouve U2 (environ egale a 1,5)
On remarque que pour les premiers termes , U1 > U2 > U3 On peut conjecturer que (Un) est décroissante et qu'elle tend vers 1
2)
a) On pose Hn l’hypothèse de récurrence suivante : " Un >1"
Initialisation :
U0 = 7 > 1
U1 = 2,5 > 1
Ok pour les premiere termes !
Hérédité:
Supposons Hn vraie pour un n quelconque
Un+1 = 4Un +2 / Un+5 > 1 car 4Un +2 > Un+5 car 3Un > 3 car Un > 1 selon l’hypothèse de récurrence
D’où par récurrence simple sur n , On a pour tout n Un>0
b)
Il suffit de poser le calcule et de mettre au même dénominateur
c)
Comme Un>1 pour tout n , on a forcement (1-Un) < 0 pour tout n
D'ou Un+1 - Un <0 !
On retrouve alors le faite que Un est décroissante
d)
La suite Un est décroissante et minoré par 1 , donc elle Converge
3)
a) Il suffit de calculer Vn+1 et de remplacer Un+1 par l'expression donnée plus haut
Vn+1 = ( 4Un+2/Un+5 ) -1 / ( 4Un+2/Un+5 ) +2
On met au même dénominateur , et on obtient : 3Un -3 / 6Un +12 = Un - 1 / 2Un + 4 =1/2 * Vn
D'ou Vn est géométrique de raison 1/2
b)
Comme Vn est geo , on sait que Vn = 1/2 ^n * V0
Pour exprimer (Un) en fonction de (Vn) c'est facile , il suffit d'utiliser la defintion de Vn je te laisse faire
c) Normalement tu trouveras que la limite = 1
Bonne journée , n'hesite pas a demander si tu bloque ou si tu comprend pas :)
