Bonjour
Anthea88
C(q) = 0,1q² + 10q + 450 pour q ≥ 0
Tous les objets fabriqués sont vendus au prix unitaire de 56€.
1)
c) Déterminer la quantité d'objets pour que les coûts de fabrications soient égaux à 690€.
Il faut résoudre l'équation 0,1q² + 10q + 450 = 690
0,1q² + 10q + 450 - 690 = 0
0,1q² + 10q - 240 = 0
[tex]\Delta=10^2-4\times0,1\times(-240)=100+96=196\\\\q_1=\dfrac{-10-\sqrt{196}}{2\times0,1}=\dfrac{-10-14}{0,2}=\dfrac{-24}{0,2}=-120\\\\q_2=\dfrac{-10+\sqrt{196}}{2\times0,1}=\dfrac{-10+14}{0,2}=\dfrac{4}{0,2}=20[/tex]
La valeur -120 est à écarter puisqu'une quantité q ne peut pas être négative.
Par conséquent,
les coûts seront de 690 € pour une quantité de 20 objets produits et vendus.
2)
a)Exprimer la recette R(q) en fonction de q
Un objet est vendu au prix de 56 €.
Donc q objets sont vendus au prix total de 56q €
Par conséquent, R(q) = 56q
b)Montrer que le bénéfice B, en fonction de q, est défini par:
B(q)=-0.1q²+46q-450 pour q≥0
Bénéfice = Recette - coût de production.
B(q) = 56q - (0,1q² + 10q + 450)
B(q) = 56q - 0,1q² - 10q - 450
B(q) = -0,1q² + 46q - 450
c) résoudre l'équation B(q)=0.En déduire les quantités à produire et a vendre pour que le bénéfice soit nul.
[tex]B(q)=0\\\\-0,1q^2+46q-450=0\\\\\Delta=46^2-4\times(-0,1)\times(-450)=2116-180=1936\\\\q_1=\dfrac{-46-\sqrt{1936}}{2\times(-0,1)}=\dfrac{-46-44}{-0,2}=\dfrac{-90}{-0,2}=450\\\\q_2=\dfrac{-46+\sqrt{1936}}{2\times(-0,1)}=\dfrac{-46+44}{-0,2}=\dfrac{-2}{-0,2}=10[/tex]
Les solutions de l'équation B(x) = 0 sont 10 et 450.
Par conséquent, le bénéfice sera nul si l'entreprise produit et vend 10 objets ou 450 objets.
d) Dresser le tableau de variation de B. En déduire la valeur du bénéfice maximal et pour quelle quantité d'objets fabriqués et vendus il est atteint.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} q&0&&230&&+\infty\\ B(q)&&\nearrow&4840&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Le bénéfice maximal est égal à 4840 € et est réalisé par la fabrication et la vente de 230 objets.
