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Sagot :
Bonjour
AZERTY231
f(x+y) = f(x) + f(y) pour tout x et y dans IR
1/calculer f(0)
f(0) = f(0 + 0)
f(0) = f(0) + f(0)
f(0) - f(0) = f(0)
0 = f(0)
Par conséquent, f(0) = 0.
2/montrer que f est impaire
Pour tout x appartenant à IR, on sait que (-x) appartient à IR.
f(-x) = f(0 - x)
f(-x) = f(0) - f(x)
f(-x) = 0 - f(x)
f(-x) = - f(x)
Par conséquent, f est impaire.
3/montrer que f(x)=ax pour tout x dans IN (a un réel)
1er cas : x = 0
f(x) = f(0)
f(x) = 0
[tex]f(x)=0\times a\\\\f(x)=x\times a\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
2ème cas : x est dans IN* (entiers naturels non nuls)
x appartient à IN* ==> x = 1 + 1 + 1 + ... + 1 où la somme comprenant x termes égaux à 1.
D'où f(x) = f(1 + 1 + 1 + ... + 1)
f(x) = f(1) + f(1) + f(1) + ... + f(1)
[tex]f(x)=x\times f(1)[/tex]
Notons f(1) par la lettre a.
Donc
[tex]f(x) = x\times a\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
4/montrer que f(x)=ax pour tout x dans IZ (a un réel)
1 er cas :
Nous venons de démontrer l'égalité pour tout x dans IN.
2ème cas :
Montrons que cette égalité est également vraie dans Z* (entiers strictement négatifs)
x ∈ Z* ==> il existe un naturel non nul x' tel que x = - x'
==> f(x) = f(-x')
f(x) = - f(x') car f est impaire.
f(x) = - ax' (en appliquant la propriété à x' qui est un naturel non nul)
[tex]f(x) = a\times(-x')\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
5/montrer que f(x)=ax pour tout x dans Q (Q est un rationnel)
1 er cas :
Nous venons de démontrer l'égalité pour tout x dans Z
2ème cas :
Montrons que cette égalité est également vraie dans Q\Z (rationnels non nuls et non entiers)
[tex]x\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}\Longrightarrow x=\dfrac{r}{s}\ avec\ r,s\in\mathbb{Z^*}\\\\f(x)=f(\dfrac{r}{s})\\\\f(x)=f(r\times\dfrac{1}{s})\\\\\boxed{f(x)=r\times f(\dfrac{1}{s})}\\\\Or\ \ f(1)=f(s\times\dfrac{1}{s})\\\\f(1)=s\times f(\dfrac{1}{s})\Longrightarrow \boxed{f(\dfrac{1}{s})=\dfrac{1}{s}\times f(1)}[/tex]
D'où
[tex]f(x)=r\times\dfrac{1}{s}\times f(1)\\\\f(x)=\dfrac{r}{s}\times f(1)\\\\f(x)=x\times f(1)[/tex]
Notons f(1) par la lettre a.
Donc
[tex]f(x) = x\times a\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
f(x+y) = f(x) + f(y) pour tout x et y dans IR
1/calculer f(0)
f(0) = f(0 + 0)
f(0) = f(0) + f(0)
f(0) - f(0) = f(0)
0 = f(0)
Par conséquent, f(0) = 0.
2/montrer que f est impaire
Pour tout x appartenant à IR, on sait que (-x) appartient à IR.
f(-x) = f(0 - x)
f(-x) = f(0) - f(x)
f(-x) = 0 - f(x)
f(-x) = - f(x)
Par conséquent, f est impaire.
3/montrer que f(x)=ax pour tout x dans IN (a un réel)
1er cas : x = 0
f(x) = f(0)
f(x) = 0
[tex]f(x)=0\times a\\\\f(x)=x\times a\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
2ème cas : x est dans IN* (entiers naturels non nuls)
x appartient à IN* ==> x = 1 + 1 + 1 + ... + 1 où la somme comprenant x termes égaux à 1.
D'où f(x) = f(1 + 1 + 1 + ... + 1)
f(x) = f(1) + f(1) + f(1) + ... + f(1)
[tex]f(x)=x\times f(1)[/tex]
Notons f(1) par la lettre a.
Donc
[tex]f(x) = x\times a\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
4/montrer que f(x)=ax pour tout x dans IZ (a un réel)
1 er cas :
Nous venons de démontrer l'égalité pour tout x dans IN.
2ème cas :
Montrons que cette égalité est également vraie dans Z* (entiers strictement négatifs)
x ∈ Z* ==> il existe un naturel non nul x' tel que x = - x'
==> f(x) = f(-x')
f(x) = - f(x') car f est impaire.
f(x) = - ax' (en appliquant la propriété à x' qui est un naturel non nul)
[tex]f(x) = a\times(-x')\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
5/montrer que f(x)=ax pour tout x dans Q (Q est un rationnel)
1 er cas :
Nous venons de démontrer l'égalité pour tout x dans Z
2ème cas :
Montrons que cette égalité est également vraie dans Q\Z (rationnels non nuls et non entiers)
[tex]x\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}\Longrightarrow x=\dfrac{r}{s}\ avec\ r,s\in\mathbb{Z^*}\\\\f(x)=f(\dfrac{r}{s})\\\\f(x)=f(r\times\dfrac{1}{s})\\\\\boxed{f(x)=r\times f(\dfrac{1}{s})}\\\\Or\ \ f(1)=f(s\times\dfrac{1}{s})\\\\f(1)=s\times f(\dfrac{1}{s})\Longrightarrow \boxed{f(\dfrac{1}{s})=\dfrac{1}{s}\times f(1)}[/tex]
D'où
[tex]f(x)=r\times\dfrac{1}{s}\times f(1)\\\\f(x)=\dfrac{r}{s}\times f(1)\\\\f(x)=x\times f(1)[/tex]
Notons f(1) par la lettre a.
Donc
[tex]f(x) = x\times a\\\\\boxed{f(x)=ax}[/tex]
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