Bonjour,
Ex1)
a) X=-1 si 1er tirage = Blanche ET 2nd tirage = Rouge
OU 1er tirage = Rouge ET 2nd tirage = Blanche.
1er cas : P(B) = 10/(10+n) et p(R) = n/(9+n)
2nd cas : P(R) = n/(10+n) et P(B) = 10/(9+n)
Au total p(X=-1) = 10/(10+n) x n/(9+n) + n/(10+n) x 10/(9+n)
= 20n/(n+10)(n+9)
b)
Si 2 tirages successifs sans remise de 2 Blanches : p(X=4) = 10/(10+n) x 9/(9+n) = 90/(n+10)(n+9)
Si 2 tirages successifs sans remise de 2 Rouges :
p(X=-6) = n/(10+n) x (n-1)/(9+n) = n(n-1)/(n+10)(n+9)
c) E(X) = -1 x p(X=-1) + 4 x p(X=4) -6 x p(X=-6)
= (-20n + 360 - 6n^2 +6n)/(n+10)(n+9)
= (-6n^2 -14n +360)/((n+10)(n+9)
d) E(X) > 0
==> -6n^2 -14n + 360 > 0 car (n+10)(n+9)>0
Signe de -6n^2 - 14n + 360
<=> signe de -3n^2 -7n +180
Delta = 49 +12x180 = 2209 = 47^2
n1=(7-47)/-6 = 20/3 et n2=(7+47)/-6 = -9
Un trinôme est du signe de a à l'extérieur de ses racines.
Donc E(X) > 0 pour n appartenant à [2 , 20/3] (2 car n>ou = à 2 dans l'énoncé)
Soit sur [2,6]
Exo 2)
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de succès. X suit une loi binomiale (n,p) car chaque tirage est indépendant et la probabilité est identique d'obtenir une boule rouge (remise).
Avec n=20 (attention pas le même n que le nombre de boules, juste un rappel de la formule du cours)
Et p = n/(10+n)
On cherche p(X>=1) soit 1 - p(X=0).
p(X=0) = (Combinaison 0 parmi 20) x p^0 x (1-p)^20
= 1 x 1 x (1 - n/(10+n))^20
= (10/(10+n))^20
On veut p(X=0) <ou= 1 - 0,999
soit (10/(10+n))^20 <= 0,001
soit 20xln(10/(10+n)) <= ln(0,001)
etc...
on trouve n >= 4,12...
Soit n >= 5
