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Sagot :
Bonjour Stitwailham23ikram
(x + y)² = x² + 2xy + y²
= (x² + y²) + 2xy
= 1 + 2xy
> 1 car 2xy > 0
D'où
(x + y)² > 1
x + y > 1 ou x + y < - 1
Or l'inégalité x+y<-1 est impossible car x et y sont strictement positifs.
Donc x + y > 1,
soit 1 < x + y
De plus,
(x - y)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
x² - 2xy + y² ≥ 0
(x² + y²) - 2xy ≥ 0
1 - 2xy ≥ 0 car x²+y²=1
1 ≥ 2xy
2xy ≤ 1
1 + 2xy ≤ 1 + 1
1 + 2xy ≤ 2
(x² + y²)+ 2xy ≤ 2
x² +2xy + y² ≤ 2
(x + y)² ≤ 2
-√2 ≤ x + y ≤ √2
D'où x + y ≤ √2
En résumé, nous obtenons : 1 < x + y ≤ √2
(x + y)² = x² + 2xy + y²
= (x² + y²) + 2xy
= 1 + 2xy
> 1 car 2xy > 0
D'où
(x + y)² > 1
x + y > 1 ou x + y < - 1
Or l'inégalité x+y<-1 est impossible car x et y sont strictement positifs.
Donc x + y > 1,
soit 1 < x + y
De plus,
(x - y)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
x² - 2xy + y² ≥ 0
(x² + y²) - 2xy ≥ 0
1 - 2xy ≥ 0 car x²+y²=1
1 ≥ 2xy
2xy ≤ 1
1 + 2xy ≤ 1 + 1
1 + 2xy ≤ 2
(x² + y²)+ 2xy ≤ 2
x² +2xy + y² ≤ 2
(x + y)² ≤ 2
-√2 ≤ x + y ≤ √2
D'où x + y ≤ √2
En résumé, nous obtenons : 1 < x + y ≤ √2
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