FRstudy.me offre une solution complète pour toutes vos questions. Trouvez les réponses dont vous avez besoin rapidement et précisément avec l'aide de nos membres de la communauté bien informés et dévoués.
On s'interesse à la suite [tex](u_{n}) [/tex] définie pour tout n appartenant IN par :
[tex]\left \{ {u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n}{} \atop {u_{0}=1 etu_{1}=2 }}[/tex]
Démontrez que pour tout n appartenant à IN :
[tex]u_{n} = 2^{n}[/tex]
Merciii d'avance
[tex]U_2=(5\times2)-(6\times1)=10-6=4[/tex]
U0=1
U1=2
U2=4
Il semble que la conjecture [tex]U_n=2^n[/tex] soit vraie.
a) Initialisation :
[tex]U_0=2^0=1[/tex] : La conjecture est vérifiée pour le rang 0
Idem pour les rangs 1 et 2
b) Vérification par réccurence :
Soit : [tex]U_p=2^p[/tex] ; [tex]U_p_+_1=2^p^+^1[/tex] ; [tex]U_p_+_2=2^p^+^2[/tex]
[tex]U_p_+_2=5U_p_+_1-6U_p[/tex]
On remplace par la conjecture :
[tex]U_p_+_2=5\times2^p^+^1-6\times2^p[/tex]
[tex]=5\times2\times 2^p^+^1-6\times2^p=10\times2^p-6\times2^p[/tex]
[tex]=4\times2^p= 2^p\times2^p=2^p^+^2[/tex]
D'après a et b, la conjecture est vérifiée et [tex]U_n=2^n[/tex] à partir du rang 0