Bonjour Popcorn
Exercice 1
[tex]1)\ f(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i)=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i-i}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i}=\dfrac{\dfrac{1-i}{2}}{\dfrac{1+i}{2}}=\dfrac{1-i}{1+i}\\\\=\dfrac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-2i-1}{1^2+1^2}=\dfrac{-2i}{2}=-i\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i)=-i}[/tex]
[tex]f(3-5i)=\dfrac{3-5i-i}{3-5i}=\dfrac{3-6i}{3-5i}=\dfrac{(3-6i)(3+5i)}{(3-5i)(3+5i)}\\\\=\dfrac{9+15i-18i+30}{3^2+5^2}=\dfrac{39-3i}{9+25}=\dfrac{39-3i}{34}=\dfrac{39}{34}-\dfrac{3}{34}i\\\\\Longrightarrow\boxed{f(3-5i)=\dfrac{39}{34}-\dfrac{3}{34}i}[/tex]
[tex]2)\ f(z)=-2i\\\\\dfrac{z-i}{z}=-2i\\\\z-i=-2iz\\z+2iz=i\\(1+2i)z=i\\\\z=\dfrac{i}{1+2i}\\\\z=\dfrac{i(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\\\\z=\dfrac{i+2}{1^2+2^2}=\dfrac{i+2}{1+4}=\dfrac{i+2}{5}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{z=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i}[/tex]
[tex]f(z)=3-5i\\\\\dfrac{z-i}{z}=3-5i\\\\z-i=(3-5i)z\\z-i=3z-5iz\\3z-z-5iz=-i\\2z-5iz=-i\\(2-5i)z=-i\\\\z=\dfrac{-i}{2-5i}=\dfrac{-i(2+5i)}{(2-5i)(2+5i)}=\dfrac{-2i+5}{2^2+5^2}=\dfrac{5-2i}{4+25}=\dfrac{5-2i}{29}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{z=\dfrac{5}{29}-\dfrac{2}{29}i}[/tex]
[tex]3)a)\ f(z)=\dfrac{x+iy-i}{x+iy}=\dfrac{(x+iy-i)(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}\\\\=\dfrac{x^2-xyi+xyi+y^2-ix-y}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2-y-ix}{x^2+y^2}\\\\\\\Longrightarrow f(z)=\dfrac{x^2+y^2-y}{x^2+y^2}-(\dfrac{x}{x^2+y^2})\ i\\\\\\\Longrightarrow\boxed{X=\Re[f(x)]=\dfrac{x^2+y^2-y}{x^2+y^2}\ \ et\ \ Y=\Im[f(z)]=\dfrac{-x}{x^2+y^2}}[/tex]
b) f(z) sera un imaginaire pur non nul si X = 0 et si Y ≠ 0.
Donc
[tex]\dfrac{x^2+y^2-y}{x^2+y^2}=0\ \ et\ \ \dfrac{-x}{x^2+y^2}\neq0\\\\x^2+y^2-y=0\ \ et\ \ -x\neq0\\\\x^2+(y^2-y+\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}\ \ et\ \ -x\neq0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=(\dfrac{1}{2})^2\ \ et\ \ -x\neq0[/tex]
Donc C est un cercle de centre (0 ; 1/2) et de rayon 1/2 privé des points (0;0 et (0;1)
c) f(z) sera réel si Y = 0, soit si x = 0.
Donc D est la droite d'équation x = 0 (axe imaginaire)
d) Figure en pièce jointe.
Les résultats des questions 1 et 2 peuvent se traduire par
[tex]f(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i)=-i\ \Longrightarrow \boxed{f(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i)\ est\ un\ imaginaire\ pur\ non\ nul}\\\\f(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i)=-2i\ \Longrightarrow \boxed{f(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i)\ est\ un\ imaginaire\ pur\ non\ nul}[/tex]
Par conséquent, les points m représentant les nombres 1/2+(1/2)i et 2/5+(1/5)i se trouvent dans l'ensemble C.
Exercice 2
[tex]1)\ Z^4=1\\\\Z^2=1\ \ ou\ \ Z^2=-1\\Z=1\ \ ou\ \ Z=-1\ \ ou\ \ Z=i\ \ ou\ \ Z=-i[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation [tex]Z^4=1[/tex] est [tex]\boxed{S=\{1;-1;i;-i\}}[/tex]
[tex]2)\ (E):z^4=-7-4i\sqrt{2}\\\\\boxed{a\ est\ solution\ de\ (E)\Longrightarrow a^4=-7-4i\sqrt{2}}[/tex]
[tex]z\ est\ solution\ de\ (E)\\\\\Longleftrightarrow z^4=-7-4i\sqrt{2}\ et\ a^4=-7-4i\sqrt{2}\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{z^4}{a^4}=\dfrac{-7-4i\sqrt{2}}{-7-4i\sqrt{2}}\\\\\\\Longleftrightarrow(\dfrac{z}{a})^4=1\\\\\\\Longleftrightarrow \dfrac{z}{a}\ est\ solution\ de\ l'\acute{e}quation:Z^4=1[/tex]
3) a) Montrons que [tex](\sqrt{2}-i)^4=-7-4i\sqrt{2}[/tex]
En effet,
[tex](\sqrt{2}-i)^4=[(\sqrt{2}-i)^2]^2=[2-2i\sqrt{2}-1]^2=(1-2i\sqrt{2})^2\\\\=1-4i\sqrt{2}-(2\sqrt{2})^2=1-4i\sqrt{2}-8=-7-4i\sqrt{2}\\\\\Longriggtarrow\boxed{(\sqrt{2}-i)^4=-7-4i\sqrt{2}}[/tex]
Par conséquent, [tex]\sqrt{2}-i[/tex] est une solution particulière de (E).
b) En utilisant les résultats des questions 1 et 2, nous obtiendrons les solutions de (E) :
[tex]\dfrac{z_1}{\sqrt{2}-i}=1\Longrightarrow\boxed{z_1=\sqrt{2}-i}\\\\\dfrac{z_2}{\sqrt{2}-i}=-1\Longrightarrow\boxed{z_2=-\sqrt{2}+i}\\\\\dfrac{z_3}{\sqrt{2}-i}=i\Longrightarrow z_3=i(\sqrt{2}-i)\Longrightarrow\boxed{z_3=1+i\sqrt{2}}\\\\\dfrac{z_4}{\sqrt{2}-i}=-i\Longrightarrow z_3=-i(\sqrt{2}-i)\Longrightarrow\boxed{z_4=-1-i\sqrt{2}}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est [tex]\boxed{S=\{\sqrt{2}-i\ ;\ -\sqrt{2}+i\ ;\ 1+i\sqrt{2}\ ;\ -1-i\sqrt{2}\}}[/tex]
Exercice 3
[tex]z^2=\overline{z}-1\\\\(x+iy)^2=x-iy-1\\\\x^2-y^2+2xyi=x-1-iy\\\\\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=x-1\\2xy=-y\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x^2-y^2=x-1\\(2x+1)y=0\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x^2-y^2=x-1\\2x+1=0\end{matrix}\right.\ ou\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x^2-y^2=x-1\\y=0\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}(-\frac{1}{2})^2-y^2=-\frac{1}{2}-1\\x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\ ou\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x^2-0^2=x-1\\y=0\end{matrix}\right. [/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}-y^2=-\frac{3}{2}\\x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\ ou\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x^2-x+1=0\\y=0\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y^2=\dfrac{7}{4}\\\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\ ou\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x^2-x+1=0\ impossible\ car\ \Delta=-3\ \textless \ 0\\\\y=0\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}y=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}\\\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.[/tex]
