Exercice 1 :
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :
1) f(x)=ln-2x²+x+3) f '(x) = (-4x + 1) /(-2x² +x+3)
2) f(x)=(x^3-1)ln x f '(x)= 3x² lnx + (x^3-1) *(1/x)
3) f(x)=1+ln x / 3 (le tout divisé par 3)
f'(x)= 1/3 * 1/x
Exercice 2 :
Résoudre les équations suivantes :
1) ln(x+3)=2ln x sur ]0;+∞[
ln(x+3)=lnx² x+3 =x² x² -x = 3
(x-1/2)²-(1/2)² = 3 (x-1/2)² = 3+1/4 = 13/4
x -1/2 = √13 /2 ou -√13/2 x = 1/2 + √13/2 car x positif
2) ln(x+2) + ln(x) = ln(9x-12) sur ]4/3;+∞[
(x+2)*x=9x-12 x² +2x = 9x -12 x² -7x = -12
(x-7/2)²-(7/2)² = -12 = -48/4 (x-7/2)²= 49/4-48/4 = 1/4
x - 7/2 = 1/2 ou -1/2 x =4 ou x=3
Exercice 3 :
Soit f(x) = 2x+1-ln x définie sur ]0;+∞|
1) Déterminer lim (2x+1)= 1 et lim(-lnx)= +∞ donc limf = +∞
0
2) Montrer que f'(x) = 2x-1 / x (le tout sur x)
f'(x)= 2 -1/x = (2x-1)/x
3) Déterminer le tableau de variation sur ]0;+∞[
f ' est positive pour 2x-1 >0 x>1/2 f est donc décroissante sur
]0;1/2| et croissante sur ]1/2;+∞|
(on admettra que lim f = +∞)
+∞
4) Déterminer l'équation de la tangente à Cf en 3.
y =f'(3) (x-3) + f(3)= 5/3 *(x-3) + 7 - ln 3 = 5/3x + 2 -ln3
5) Tracer l'allure de la courbe Cf dans un repère orthonormé.
