Sagot :
Bonjour
Carolinaaaaa
Exercice 1
[tex]1)\ \overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\\\\\overrightarrow{AB}:(0-1;-2-2;1-3)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}:(-1;-4;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)\\\\\overrightarrow{AC}:(3-1;10-2;7-3)\\\\\boxed{\overrightarrow{AC}:(2;8;4)}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}}[/tex]
On en déduit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
Exercice 2
1) Les droites (D) et (D') seraient parallèles si leurs vecteurs directeurs étaient colinéaires.
Or les coordonnées d'un vecteur directeur de (D) sont (1 ; 2 ; -3) et les coordonnées d'un vecteur directeur de (D') sont (1 ; -3 ; 1).
Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles car [tex]\dfrac{1}{1}\neq\dfrac{2}{-3}\neq\dfrac{-3}{1}[/tex]
D'où, les vecteurs directeurs de (D) et (D') ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites (D) et (D') ne sont pas parallèles.
2) Les droites (D) et (D') sont sécantes s'il existe un point d'intersection entre (D) et (D') c'est-à-dire si le système composé par leurs équations admet une solution.
Résolvons ce système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5+t\\y=2t-1\\z=2-3t\\x=t'\\y=-3t'+5\\z=1+t' \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=5+t\\x=t'\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}y=2t-1\\y=-3t'+5\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}z=2-3t\\z=1+t'\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-3t'+5\\2-3t=1+t' \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-3(5+t)+5\\2-3t=1+(5+t) \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-15-3t+5\\2-3t=1+5+t \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-10-3t\\2-3t=6+t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t+3t=-10+1\\-3t-t=6-2 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}5+t=t'\\5t=-9\\-4t=4 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t=-\dfrac{9}{5}\\\\t=\dfrac{4}{-4}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}t=-\dfrac{9}{5}\\\\t=-1\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{Impossible\ \ car\ \ -\dfrac{9}{5}\neq-1}[/tex]
Puisque ce système est impossible, il n'y a pas de point commun entre les droites (D) et (D').
Par conséquent, les droites (D) et (D') ne sont pas sécantes.
Puisque les droites (D) et (D') ne sont ni parallèles, ni sécantes, ces droites (D) et (D') ne sont pas coplanaires.
Exercice 1
[tex]1)\ \overrightarrow{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\\\\\overrightarrow{AB}:(0-1;-2-2;1-3)\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}:(-1;-4;-2)}\\\\\\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A)\\\\\overrightarrow{AC}:(3-1;10-2;7-3)\\\\\boxed{\overrightarrow{AC}:(2;8;4)}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}}[/tex]
On en déduit que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
Exercice 2
1) Les droites (D) et (D') seraient parallèles si leurs vecteurs directeurs étaient colinéaires.
Or les coordonnées d'un vecteur directeur de (D) sont (1 ; 2 ; -3) et les coordonnées d'un vecteur directeur de (D') sont (1 ; -3 ; 1).
Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles car [tex]\dfrac{1}{1}\neq\dfrac{2}{-3}\neq\dfrac{-3}{1}[/tex]
D'où, les vecteurs directeurs de (D) et (D') ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites (D) et (D') ne sont pas parallèles.
2) Les droites (D) et (D') sont sécantes s'il existe un point d'intersection entre (D) et (D') c'est-à-dire si le système composé par leurs équations admet une solution.
Résolvons ce système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5+t\\y=2t-1\\z=2-3t\\x=t'\\y=-3t'+5\\z=1+t' \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=5+t\\x=t'\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}y=2t-1\\y=-3t'+5\end{matrix}\right.\\\\\left\{\begin{matrix}z=2-3t\\z=1+t'\end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-3t'+5\\2-3t=1+t' \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-3(5+t)+5\\2-3t=1+(5+t) \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-15-3t+5\\2-3t=1+5+t \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t-1=-10-3t\\2-3t=6+t \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}5+t=t'\\2t+3t=-10+1\\-3t-t=6-2 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}5+t=t'\\5t=-9\\-4t=4 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}t=-\dfrac{9}{5}\\\\t=\dfrac{4}{-4}\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}t=-\dfrac{9}{5}\\\\t=-1\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{Impossible\ \ car\ \ -\dfrac{9}{5}\neq-1}[/tex]
Puisque ce système est impossible, il n'y a pas de point commun entre les droites (D) et (D').
Par conséquent, les droites (D) et (D') ne sont pas sécantes.
Puisque les droites (D) et (D') ne sont ni parallèles, ni sécantes, ces droites (D) et (D') ne sont pas coplanaires.
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