Bonjour,

On donne le tableau de variation d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [2 ; 15].
On note f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle [2 ; 15].
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
On suppose de plus que f(5) = 0.

1. A l'aide du tableau, répondre aux questions suivantes :
a) Donner une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 3.
b) Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 4 dans l'intervalle [2 ; 15] ?

2. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [2 ; 15] par : g(x) = e^f(x)
a) Calculer g(5)
b) Dresser le tableau de variation de g
c) Déterminer le nombre de solutions de l'équation g(x) = 1 dans l'intervalle [2 ; 15].

1. a) y = f'(a) (x + a) + f(a)
y = f'(3) (x + 3) + 6
y = 0 x (x + 3) + 6
y = 6

f'(3) = 0 alors la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses. Or f(3) = 6 donc la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 a pour équation y = 6.

1. b) f est dérivable sur l'intervalle [2 ; 15] donc continue sur cet intervalle.
- sur l'intervalle [2 ; 3], f est continue et strictement monotone et 4 ∈ [-20 ; 6], d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (CTVI), l'équation f(x) = 4 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [2 ; 3].
- sur l'intervalle [3 ; 10], f est continue et strictement décroissante et - 5 < 4 < 6, d'après le CTVI, l'équation f(x) = 4 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [3 ; 10].
- sur l'intervalle [10 ; 15], f est continue et strictement monotone et 4 ∈ [-5 ; 4], d'après le CTVI, l'équation f(x) = 4 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [10 ; 15].

L'équation f(x) = 4 admet 3 solutions sur l'intervalle [2 ; 15].

2. a) g(x) = e^f(x)
g(5) = e^f(5)
g(5) = e^0
g(5) = 1

Je voudrais savoir si mes réponses jusqu'à la question 2. a étaient justes et si vous pouviez m'expliquer pour la suite car je n'y arrive pas.

Merci d'avance !