Bonjour,
1)
a) D'après l'allure de la courbe (voir courbe 1), on voit que f est d'abord décroissante puis croissante.
b) choisir x entre 4 et 5
Voir courbe 2
On trouve x = 4,15 soit 4150 tonnes produites
et C(4,15) = 0,62478 soit 624,.. milliers d'€
c) On recherche y=4
On trouve x = 0,5
2)
C(x) = (0,01e^x + 2)/x
On pose u(x) = 0,01e^x + 2 ==> u'(x) = 0,01e^x
et v(x) = x ==> v'(x) = 1
C'(x) = (u'v - uv')/v^2
= [(0,01e^x)x - (0,01e^x + 2)]/x^2
= (0,01xe^x - 0,01e^x - 2)/x^2
3) C'(x) = f(x)/x^2
a) f'(x) = 0,01e^x + 0,01xe^x - 0,01e^x
= 0,01xe^x
b) f'(x) est toujours > 0
Donc f est strictement croissante sur ]0,6]
c) f(4) = 0,04e^4 - 0,01e^4 - 2 = 0,03e^4 - 2
soit environ -0,36 < 0
f(5) = 0,05e^5 - 0,01e^5 - 2 = 0,04e^5 - 2
soit environ 3,93 donc > 0
En résumé :
x 4 5
f(x) -0,36 croissante 3,93
Donc il existe une unique valeur α appartenant à [4,5] tel que f(α) = 0
On trouve α = 4,15 soit 4,2 à 0,1 près.
d) f est donc négative sur ]0,α[ et positive sur ]α,6[
x 0 α 6
f(x) - 0 +
C'(x) - 0 +
C(x) décroit croit
Le minimum de C(x) est donc obtenu pour x = α
