Bonjour,
Exercice 1
1) Dm : y = m(x+1) - 2
<=> m(x+1) - 2 - y = 0
Pour que cette équation soit réalisée pour tout m, il faut :
x + 1 = 0
-2 - y = 0
Soit x = -1 et y = -2
Donc toutes les droites (Dm) par par le point C(-1;-2)
On vérifie que yC = -2 = 2/-1 = 2/xC
Donc C appartient bien à l(hyperbole H.
2) Voir graphiques joints
Equations des droites :
(D(-1)) : y = -x - 3
(D0) : y = -2
(D1) : y = x -1
(D2) : y = 2x
(D3) : y = 3x + 1
(D4) : y = 4x + 2
(D5) : y = 5x + 3
3) On voit que les droites (Dm) pivotent autour du point C. On peut conjecturer que :
Pour m < 0, H et Dm ont 2 points communs
Pour m = 0, H et D0 ont un seul point commun (C)
Pour m > 0, H et Dm ont 2 points communs
4) m(x+1) - 2 = 2/x
<=> m(x+1) - 2 - 2/x = 0
<=> [mx(x+1) - 2x - 2]/x = 0
<=> mx^2 + (m-2)x - 2 = 0
Discriminant Δ = (m-2)^2 - 4.m.(-2)
= m^2 - 4m + 4 + 8m
= m^2 + 4m + 4
= (m+2)^2
Pour que H et Dm n'ait qu'un unique point d'intersection il faut Δ = 0
Soit m+2 = 0
==> m = -2
Exercice 2
1)
Equation de (d) : y = mx + p
O1(xO, yO) appartient à (d), donc yO = mxO + p
Soit p = yO - mxO
D'où (d) : y = mx + yO - mxO
De même,
Equation de (d') : y = m'x + yO - m'xO
2) a)
A d'abscisse xA appartient à (d)
==> yA = mxA + yO - mxO
B d'abscisse xB appartient à (d')
==> yB = m'xB + yO - m'xO
A(xA ; mxA + yO - mxO)
B(xB ; m'xB + yO - m'xO)
b) Triangle AO1B
On veut démontrer que (d) et (d') sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.
Ce qui revient à démontrer que AO1B est rectangle en O1 si le produit des coefficients directeurs vaut -1.
AO1B rectangle en O1
<=> O1A^2 + O1B^2 = AB^2
O1A^2 = [(xA - xO)^2 + (yA-yO)^2)]
O1B^2 = [(xB - xO)^2 + (yB - yO)^2]
O1A^2
= [(xA - xO)^2 + (mxA + yO - mxO - yO)^2]
= [(xA - xO)^2 + m^2(xA - xO)^2]
= (1 + m^2)(xA - xO)^2
De même,
O1B^2 = (1 + m'^2)(xB - xO)^2
AB^2 = [(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2]
= (xB - xA)^2 + (m'xB + yO - m'xO - mxA - yO + mxO)^2
= (xB - xA)^2 + [m'(xB - xO) - m(xA - xO)]^2
= [(xB -xO) - (xA - xO)]^2 + m'^2(xB - xO)^2 + m^2(xA - xO)^2 - 2mm'(xB - xO)(xA - xO)
= (xB - xO)^2 - 2(xB - xO)(xA - xO) + (xA - xO)^2 + m'^2(xB - xO)^2 + m^2(xA - xO)^2 - 2mm'((xB - xO)(xA - xO)
= (xB - xO)^2(1 + m'^2) + (xA - xO)^2(1 + m^2) -2(xB - xO)(xA - xO)(1 + mm')
= O1A^2 + O1B^2 - 2(xB - xO)(xA - xO)(1 + mm')
Si l'on veut AO1B rectangle en O1, il faut :
-2(xB - xO)(xA - xO)(1 + mm') = 0
pour tous points A et B
==> 1 + mm' = 0
==> mm' = -1
Le produit des coefficients directeurs doit donc être égal à -1.
Remarque : Je t'ai fait une démonstration générale pour un point O1 quelconque. D'où la complexité des calculs. Sur ton énoncé, tu peur peut-être choisir O1(3;3) comme sur le graphique. Tu remplaces alors xO et yO par 3 dans le calcul ci-dessus
