Bonjour,
on va calculer les aires de chaque zone.
. Aire totale de la cible = Aire carré = 20^2 = 400 cm^2
. Aire D = πR^2 = πx1^2 = π cm^2
. Aire du cercle C = πx10^2 = 100π cm^2
. Aire se chaque secteur Sk = (Aire C - Aire D)/ 8 = 99π/8
. Aire de la zone R = Aire carré - Aire C = 20^2 - 100π = 100(4 - π) cm^2
La probabilité que le point choisi appartienne à une zone est proportionnelle à son aire.
Donc :
p(D) = π/400
p(Sk) = (99π/8)/400 = 99π/3200
p(R) = 100(4 - π)/400 = 1 - π/4
Pour vérifier et pour simplifier les calculs on va tout mettre au même dénominateur :
p(D) = 8π/3200
p(Sk) = 99π/3200
p(R) = 800(4 - π)/3200
On vérifie que p(D) + 8xp(Sk) + p(R) = (8π + 792π + 3200 - 800π)/3200 = 1
On peut maintenant écrire la loi de probabilité de la variable X qui donne le gain ou la perte en fonction du point choisi :
X 10€ k de 1à8 -4€
p(X) 8π/3200 99π/3200 800(4 - π)/3200
E(X) = 10x8π/3200 + (1+2+3+4+5+6+7+8)x99π/3200 - 4x800(4 - π)/3200
= [80π + 36x99π + 12800 - 3200π]/3200
= [444π + 12800]/3200
= 4,43 €
On peut donc espérer gagner 4,43 €
