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Yannis27
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Bonsoir j'ai deux exercices sur les suites, merci en avance:

1) Tout d'abord je dois étudier la monotonie de la suite [tex]Un= \frac{(2n)!}{ 2^{n} n!} [/tex] avec n ∈ Ν

2) Soit la suite [tex]Vn= \frac{2n^2-n+1}{n^2+1} [/tex]
a) Montrer que (Vn) est bornée
b) Etudier sa monotonie
c) En deduire que la suite est convergente et puis calculer sa limite.

Merci en avance pour votre aide.

Sagot :

Laurance
1)  un+1 = (2n+2)!/(2^(n+1)  * (n+1) !)  
= (2n)! * (2n+1)*(2n+2)   / ( 2^n * 2  * n!  * (n+1)  ) 
= (2n)!  *(2n+1)  / ( 2^n  * n!)  
= (2n+1) * un 
donc
un+1-un=2n*un   qui est  positif comme  le sont  n et  un 
conclusion
la suite est  croissante
2)  a)   2n²  -n +1 =    2n² +2  -n  - 1  = 2(n²+1)  - (n+1) 
donc
vn =  2   -  (n+1) / (n²+1)      montre que   vn< 2 
de  plus  
v0  = 1         v1 = 1
si n  > 1       alors    n²>  n  
2n² >  2n 
2n²-n >  2n -n
2n² -n +1 >  n +1 >   0 
d'où  
0< vn<2  
b)  vn+1 -vn =  2 - (n+2) / ( (n+1)² + 1 )   - 2 + (n+1) / ( n² +1) 
= (n+1)/(n²+1)  - (n+2) /( n²+2n+2)  
= (n²+3n) /  ((n²+1)(n²+2n+2))    qui est  positif comme n 
d'où  vn croissante 
c)vn est  croissante et  majorée par  2  elle est convergente 
 comme    (n+1) / (n²+1)    a  pour  limite 0 
vn a pour limite 2 
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