Bonsoir,
les variations de la fonction f dépendent du signe de sa dérivée f'
f'(x) = x² -8x +16 . Pour trouver les signes de f'(x), on résout f'(x) =0
x² -8x +16 =0 . Il y a une racine double évidente : x=4
f'(x) = (x-4)² donc f'(x) ≥ 0 , alors f(x) est strictement croissante sur |R
x: -∞ 4 +∞
f'(x) : + 0 +
f(x) croissante 58/3 croissante
Une droite horizontale a pour équation y = k , k∈ |R . Son coefficient directeur est nulle
L'équation de la tangente en un point A de coordonnées (a, f(a) appartenat à la courbe C est de la forme :
y = f'(a) (x-a) + f(a) avec f' (a) : coefficient directeur
Existe-t-il un point (a, f(a) ) dont le nombre dérivé f'(a) = 0 ?
oui , c'est le point A (4 , 58/3) déterminé précedemment et l'équation de la tangente en A est y = 58/3, tangente horizontale en A
2a) Equation de la tangente au point d'abscisse 0
f(0) = -2 et f'(0) = 16 . L'équation de la tangente au point I (0 , -2) est
y = 16x -2
Les coordonnées des points d'intersection Courbe Tangente vérifient
y = 16x-2
y = 1/3 x^3 -4x² +16x-2 => 1/3 x^3 -4x² +16x-2 -16x +2 =0
=> 1/3 x^3 -4x² = 0 => x²(1/3x -4)=0 2 solution x= 0 (notre point précédent I)
et 1/3x-4 = 0 => x = 12
Il existe deux points d'intersection : I (0; -2) et I' (12 ; 190)
x : -∞ 0 12 +∞
f(x) - yd =
1/3 x^3 -4x² signe de a -2 signe de -a 190 signe de a
x ∈ ]-∞ ; 0[ f(x) -yd est positif : la courbe C est au dessus de la droite y =16x-2
x ∈ ]0 ; 12[ f(x) -yd est négatif : la courbe est en dessous de la droite
x ∈ ] 12 ; +∞[ la courbe repasse dessus
