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Coucou ! besoin d'aide pour les intégrales et primitives

1)Déterminer une primitive de la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x^3+e^(2x+1)-1/x En déduire la valeur de ∫ (2 en haut) (1 en bas ) f(x)dx
2)Soit g une fonction telle que, pour tout x de ]0; ∞[ , e^-x≤g(x)≤(1/x)+1 Déterminer un encadrement de ∫(3 en haut) (2 en bas) g(x)dx
3) Soit h une fonction, définie sur [ 0; , + ∞ [ représentée
graphiquement dans un repère orthonormé par la courbe
ci-contre. Encadrer l’intégrale ∫ (5 en haut ) (3 en bas ) h(x)dx par deux entiers
4) Donner le tableau de variation sur [0; , + ∞ [ de la primitive
H de h qui prend la valeur −1 pour x 1

Ou j'en suis
pour la 1 = primitive (x^4)/4 + (1/2)e^(2x+1)-in(x)
valeur = 64.470
pour le reste je suis perdue car pour la 2 je n'est pas la fonction g(x) alors comment l’intégrer et pareil pour la 3 je ne connais pas h(x)
la 4 je peut surement y arriver si j'arrive a comprendre les questions plus haut
en espérant une aide , bonne soirée !

Coucou Besoin Daide Pour Les Intégrales Et Primitives 1Déterminer Une Primitive De La Fonction F Définie Sur 0 Par Fxx3e2x11x En Déduire La Valeur De 2 En Haut class=

Sagot :

Bonjour  Mina68

1) Une primitive F de la fonction f est définie par [tex]F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}-\ln(x)[/tex].

D'où

[tex]\int\limits_1^2f(x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}-\ln(x)\right]\limits_1^2\\\\\\\int\limits_1^2f(x)\,dx=\left[\dfrac{16}{4}+\dfrac{1}{2}e^{5}-\ln(2)\right]-\left[\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}e^{3}-\ln(1)\right]\\\\\\\int\limits_1^2f(x)\,dx=4+\dfrac{1}{2}e^{5}-\ln(2)-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}e^{3}+0\\\\\\\boxed{\int\limits_1^2f(x)\,dx=\dfrac{15}{4}+\dfrac{1}{2}(e^{5}-e^3)-\ln(2)\approx67,22}[/tex] 


[tex]2)\ e^{-x}\le g(x)\le\dfrac{1}{x}+1\Longrightarrow\int\limits_2^3e^{-x}\,dx\le\int\limits_2^3g(x)\,dx\le\int\limits_2^3(\dfrac{1}{x}+1)\,dx\\\\\\\Longrightarrow-\left[e^{-x}\right]\limits_2^3\le\int\limits_2^3g(x)\,dx\le\left[\ln(x)+x\right]\limits_2^3\\\\\\\Longrightarrow-(e^{-3}-e^{-2})\le\int\limits_2^3g(x)\,dx\le\left[(\ln(3)+3)-(\ln(2)+2)\right]\\\\\\\Longrightarrow-(e^{-3}-e^{-2})\le\int\limits_2^3g(x)\,dx\le\left[(\ln(3)-\ln(2)+1\right][/tex]

[tex]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{0,0855\le\int\limits_2^3g(x)\,dx\le1,406}[/tex]

3) La fonction h est continue et croissante sur l'intervalle [3 ; 5].

D'où 

[tex]Si\ x\in[3;5],\ alors\ 3\le h(x)\le6\\\\\int\limits_3^53\,dx\le\int\limits_3^5h(x)\,dx\le\int\limits_3^56\,dx\\\\\left[3x\right]\limits_3^5\le\int\limits_3^5h(x)\,dx\le[6x]\limits_3^5\\\\15-9\le\int\limits_3^5h(x)\,dx\le30-18\\\\\boxed{6\le\int\limits_3^5h(x)\,dx\le12}[/tex]

4) Si la fonction H est une primitive de la fonction h, alors H'(x)=h(x).

Or si nous utilisons le graphique représentant la fonction h, nous déduisons que:

h(x) < 0 si x ∈ [0 ; 1[
h(1) = 0
h(x) > 0 si x ∈ ]1 ; +oo[

D'où le tableau de variations de la fonction h sur l'intervalle [0; +oo[

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\H'(x)=h(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\H(x)&0&\searrow&-1&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
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