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JeNeSuisPasTrèsFort
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Bonjour, je suis en troisième et comme je l'ai vu une autre personne de ma classe a posé le même problème que moi mais personne n'y a répondu.
Donc mon problème est :
"n" désigne un nombre entier à 3 chiffres dont le chiffre des centaines est "c", le chiffre des dizaines est "d" et le chiffre des unités est "u".
1) Expliquer pourquoi : n= 99c + 9d + c + d + u

2) a) Expliquer pourquoi le nombre 99c + 9d est divisible par 3.
b) En déduire que n est divisible par 3 dans le seul cas ou c + d est divisible par 3.

3)Démontrer de façon analogue que n est divisible par 9 dans le seul cas ou la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Merci de votre réponse. J'attend des réponses complètes et justifiées.

Sagot :

Bonjour ;

1) Dans la représentation décimale du nombre entier naturel n donné (cdu) ,
on a : n = 100 c + 10 d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 99 c + 9 d + c + d + u .

2)

a) 99 c + 9 d = 3 * 33 c + 3 * 3 d = 3 (33 c  + 3 d) , donc 99 c + 9 d est divisible par 3 .

b) Premièrement , supposons que n est divisible par 3 .
Si n est divisible par 3 alors il existe un nombre entier naturel k
tel que n = 3 k ,
donc n = 99 c + 9 d + c + d + u = 3 (33 c  + 3 d) + c + d + u = 3 k
donc : c + d + u = 3 k - 3 (33 c  + 3 d) = 3 (k - 33 c - 3 d) ,
donc : c + d + u est divisible par 3 .

Deuxièmement , supposons que c + d + u est divisible par 3 , donc il existe un nombre entier naturel h tel que : c + d + u = 3 h ,
donc : n = 3 (33 c  + 3 d) + c + d + u = 3 (33 c  + 3 d) + 3 h
= 3 (33 c  + 3 d + h) ,
donc n est divisible par 3 ,

donc n est divisible par 3 si et seulement si c + d + u est divisible par 3 .

3) On a : n = 99 c + 9 d + c + d + u .
Premièrement , supposons que n est divisible par 9 , donc il existe un nombre entier naturel u tel que n = 9 u ,
donc : n = 99 c + 9 d + c + d + u = 9 ( 11 c + d) + c + d + u = 9 u
donc : c + d + u = 9 u - 9 (11 c + d) = 9 (u - 11 c - d) ,
donc c + d + u est divisible par 9 .

Deuxièmement , supposons que c + d + u est divisible par 9 , donc il existe un nombre entier naturel v tel que : c + d + u = 9 v ,
donc : n = 9 ( 11 c + d) + c + d + u = 9 (11 c + d) + 9 v
= 9 (11c + d + v) ,
donc n est divisible par 9 ,

donc n est divisible par 9 si et seulement si c + d + u est divisible par 9 .
 


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