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Sagot :
Bonjour ;
1) Dans la représentation décimale du nombre entier naturel n donné (cdu) ,
on a : n = 100 c + 10 d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 99 c + 9 d + c + d + u .
2)
a) 99 c + 9 d = 3 * 33 c + 3 * 3 d = 3 (33 c + 3 d) , donc 99 c + 9 d est divisible par 3 .
b) Premièrement , supposons que n est divisible par 3 .
Si n est divisible par 3 alors il existe un nombre entier naturel k
tel que n = 3 k ,
donc n = 99 c + 9 d + c + d + u = 3 (33 c + 3 d) + c + d + u = 3 k
donc : c + d + u = 3 k - 3 (33 c + 3 d) = 3 (k - 33 c - 3 d) ,
donc : c + d + u est divisible par 3 .
Deuxièmement , supposons que c + d + u est divisible par 3 , donc il existe un nombre entier naturel h tel que : c + d + u = 3 h ,
donc : n = 3 (33 c + 3 d) + c + d + u = 3 (33 c + 3 d) + 3 h
= 3 (33 c + 3 d + h) ,
donc n est divisible par 3 ,
donc n est divisible par 3 si et seulement si c + d + u est divisible par 3 .
3) On a : n = 99 c + 9 d + c + d + u .
Premièrement , supposons que n est divisible par 9 , donc il existe un nombre entier naturel u tel que n = 9 u ,
donc : n = 99 c + 9 d + c + d + u = 9 ( 11 c + d) + c + d + u = 9 u
donc : c + d + u = 9 u - 9 (11 c + d) = 9 (u - 11 c - d) ,
donc c + d + u est divisible par 9 .
Deuxièmement , supposons que c + d + u est divisible par 9 , donc il existe un nombre entier naturel v tel que : c + d + u = 9 v ,
donc : n = 9 ( 11 c + d) + c + d + u = 9 (11 c + d) + 9 v
= 9 (11c + d + v) ,
donc n est divisible par 9 ,
donc n est divisible par 9 si et seulement si c + d + u est divisible par 9 .
1) Dans la représentation décimale du nombre entier naturel n donné (cdu) ,
on a : n = 100 c + 10 d + u = 99 c + c + 9 d + d + u
= 99 c + 9 d + c + d + u .
2)
a) 99 c + 9 d = 3 * 33 c + 3 * 3 d = 3 (33 c + 3 d) , donc 99 c + 9 d est divisible par 3 .
b) Premièrement , supposons que n est divisible par 3 .
Si n est divisible par 3 alors il existe un nombre entier naturel k
tel que n = 3 k ,
donc n = 99 c + 9 d + c + d + u = 3 (33 c + 3 d) + c + d + u = 3 k
donc : c + d + u = 3 k - 3 (33 c + 3 d) = 3 (k - 33 c - 3 d) ,
donc : c + d + u est divisible par 3 .
Deuxièmement , supposons que c + d + u est divisible par 3 , donc il existe un nombre entier naturel h tel que : c + d + u = 3 h ,
donc : n = 3 (33 c + 3 d) + c + d + u = 3 (33 c + 3 d) + 3 h
= 3 (33 c + 3 d + h) ,
donc n est divisible par 3 ,
donc n est divisible par 3 si et seulement si c + d + u est divisible par 3 .
3) On a : n = 99 c + 9 d + c + d + u .
Premièrement , supposons que n est divisible par 9 , donc il existe un nombre entier naturel u tel que n = 9 u ,
donc : n = 99 c + 9 d + c + d + u = 9 ( 11 c + d) + c + d + u = 9 u
donc : c + d + u = 9 u - 9 (11 c + d) = 9 (u - 11 c - d) ,
donc c + d + u est divisible par 9 .
Deuxièmement , supposons que c + d + u est divisible par 9 , donc il existe un nombre entier naturel v tel que : c + d + u = 9 v ,
donc : n = 9 ( 11 c + d) + c + d + u = 9 (11 c + d) + 9 v
= 9 (11c + d + v) ,
donc n est divisible par 9 ,
donc n est divisible par 9 si et seulement si c + d + u est divisible par 9 .
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