Bonjour
Wendy14,
Exercice 1
Partie A : [tex]g(x)=e^x-x-1[/tex]
[tex]1)\ g'(x)=(e^x-x-1)'=e^x-1-0\Longrightarrow\boxed{g'(x)=e^x-1}\\\\racine:e^x-1=0\Longrightarrow e^x=1\Longrightarrow x = 0\\\\x\ \textgreater \ 0\Longrightarrow e^x\ \textgreater \ e^0\Longrightarrow e^x\ \textgreater \ 1\Longrightarrow e^x-1\ \textgreater \ 0\Longrightarrow g'(x)\ \textgreater \ 0\\\\\\\\\begin{array}{|c|ccc|} x&0&&+\infty\\g'(x)&0&+&\\g(x)&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
D'où, la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +oo[
2) La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +oo[.
Donc pour tout réel x dans [0 ; +oo[, x ≥ 0 ==> g(x) ≥ g(0), soit g(x) ≥ 0.
Par conséquent, pour tout réel x dans [0 ; +oo[, g(x) ≥ 0.
[tex]3)\ g(x)\ge0\Longleftrightarrow e^x-x-1\ge0\\\\\Longleftrightarrow e^x-x\ge1\ \textgreater \ 0\\\\\Longleftrightarrow \boxed{e^x-x\ \textgreater \ 0}[/tex]
Partie B : [tex]f(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}\ \ \ (x\in[0;1])[/tex]
[tex]1)\ f'(x)=[\dfrac{e^x-1}{e^x-x}]'=\dfrac{(e^x-1)'(e^x-x)-(e^x-1)(e^x-x)'}{(e^x-x)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{e^x(e^x-x)-(e^x-1)(e^x-1)}{(e^x-x)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(e^x)^2-xe^x-(e^x)^2+2e^x-1}{(e^x-x)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-xe^x+2e^x-1}{(e^x-x)^2}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{(2-x)e^x-1}{(e^x-x)^2}}[/tex]
Puisque le dénominateur de f '(x) est strictement positif (c'est un carré), le signe de f '(x) est le signe du numérateur.
Or
[tex]x\in[0;1]\Longrightarrow0\le x\le1\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}-1\le-x\le0\\e^0\le e^x\le e^1\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}2-1\le2-x\le2\\1\le e^x\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}1\le2-x\le2\\1\le e^x\end{matrix}\right.\Longrightarrow1\le(2-x)e^x\Longrightarrow\boxed{(2-x)e^x-1\ge0}[/tex]
D'où , f '(x) ≥ 0 sur [0 ; 1]
Par conséquent, f est croissante sur [0 ; 1].
2) Puisque f est croissante sur [0 ; 1], nous avons :
[tex]0\le x\le1\Longrightarrow f(0)\le f(x)\le f(1)\\\\Or\ \ f(0)=0\ \ et\ \ f(1) =1\\\\\Longrightarrow0\le f(x)\le1\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)\in[0;1]}[/tex]
[tex]3)\ a)\ f(x)-x=\dfrac{e^x-1}{e^x-x}-x\\\\f(x)-x=\dfrac{e^x-1-x(e^x-x)}{e^x-x}\\\\f(x)-x=\dfrac{e^x-1-xe^x+x^2}{e^x-x}\\\\f(x)-x=\dfrac{(1-x)e^x-(1-x^2)}{e^x-x}\\\\f(x)-x=\dfrac{(1-x)e^x-(1-x)(1+x)}{e^x-x}\\\\f(x)-x=\dfrac{(1-x)[e^x-(1+x)]}{e^x-x}\\\\f(x)-x=\dfrac{(1-x)(e^x-1-x)}{e^x-x}\\\\\boxed{f(x)-x=\dfrac{(1-x)g(x)}{e^x-x}}[/tex]
b) La position relative de la droite (D) et de la courbe (C ) sur [0 ; 1] dépend du signe de f(x) - x.
Or nous savons que si x ∈ [0 ; 1], alors :
1 - x ≥ 0, g(x) ≥ 0 et e^x - x ≥ 1 > 0
Par conséquent, f(x) - x ≥ 0 .
Nous en déduisons que la courbe
(C ) est au dessus de la droite (D).
Partie C
[tex]1)\ u_1=f(u_0)=f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{e^\frac{1}{2}-1}{e^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=\dfrac{e^\frac{1}{2}-1}{e^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\approx0,56}[/tex]
2) Initialisation :
Montrons que [tex]\dfrac{1}{2}\le u_0\le u_1\le1[/tex]
Cette relation est évidente puisque [tex]u_0=\dfrac{1}{2}\ \ et\ \ u_1\approx0,56[/tex]
Hérédité :
Supposons qu’il existe un nombre p naturel tel que [tex]\dfrac{1}{2}\le u_p\le u_{p+1}\le1[/tex]
Alors montrons que nous avons : [tex]\dfrac{1}{2}\le u_{p+1}\le u_{p+2}\le1[/tex]
Puisque la fonction f est croissante,
[tex]\dfrac{1}{2}\le u_p\le u_{p+1}\le1\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})\le f(u_p)\le f(u_{p+1})\le f(1)\\\\\\\Longrightarrow u_1\le u_{p+1}\le u_{p+2}\le1\\\\Or\ \ u_1\approx0,56\ge\dfrac{1}{2}\\\\D'o\grave{u}\ \ \boxed{\dfrac{1}{2}\le u_{p+1}\le u_{p+2}\le1}[/tex]
L'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons démontré que pour tout entier n naturel, [tex]\boxed{\dfrac{1}{2}\le u_{n}\le u_{n+1}\le1}[/tex]
3) La suite (Un) étant croissante et bornée par 1/2 et 1, cette suite (Un) est convergente vers une limite l inférieure ou égale à 1.
[tex]4)\ l=\lim\limits_{n\to+\infty}u_n[/tex]
a) Puisque f est continue et que [tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex], nous pouvons déduire que [tex]l=f(l)[/tex], soit [tex]f(l)-l=0[/tex]
Or, par la question 3a) de la partie B, nous savons que [tex]f(l)-l=\dfrac{(1-l)g(l)}{e^l-l}[/tex]
D'où [tex]\dfrac{(1-l)g(l)}{e^l-l}=0[/tex]
[tex]b)\ \dfrac{(1-l)g(l)}{e^l-l}=0\\\\\Longrightarrow(1-l)g(l)=0\\\\\Longrightarrow1-l=0\ \ \ (car\ g(l)\neq0)\\\\\Longrightarrow\boxed{l=1}[/tex]
