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Bonjour j'ai un devoir maison de maths de 2nd à rendre pour lundi et je bloque sur un exercice:
Soit ABCD un rectangle tel que: AB=1 et BC=racine carré de 2. L'unité est le décimètre. On désigne par I le milieu du côté [BC]. Démontrez que les droites (AI) et (BD) sont perpendiculaires.

J'ai commencé par démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC afin de calculer les longueurs AK et BK. Puis grâce à ces longueurs je pourrai faire la réciproque du theoreme de Pythagore pour montrer que le triangle est rectangle. Petit problème je bloque dans les calculs... Si quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ? J'aimerai aussi savoir si il n'y a pas de façon plus simple de montrer que ces droites sont perpendiculaires?
Merci d'avance.

Bonjour Jai Un Devoir Maison De Maths De 2nd À Rendre Pour Lundi Et Je Bloque Sur Un Exercice Soit ABCD Un Rectangle Tel Que AB1 Et BCracine Carré De 2 Lunité E class=

Sagot :

Syogier
Bonjour,
ABCD est un rectangle et AC et BD diagonale du rectangle alors
BD²= AB² +BC² = 1² + √2² =3 => BD= AC =√3
soit ABC, triangle rectangle en B  et I' le milieu de AC et BD
BI' médiane du triangle ABC en partant du point B est de longueur BD/2 = √3/2
soit K , centre de gravité du triangle ABC, point d'intersection des médianes AI et BI', point d'intersection des droites (AI) et (BD)
BK = 2/3 BI' et AK =2/3 AI, d'où KI = 1/3 AI
BK = 2/3 * √3/2 = √3/3  ,
ABI est un triangle rectangle en B donc AI² = AB²+BI² = 1² +(√2/2)² = 1+2/4 =6/4 d'où AI = √6/2 et KI = 1/3*√6/2 = √6/6
Démontrons que BKI est un triangle-rectangle en K : BI² = KI²+ BK²
BI² = (√2/2)² = 2/4 =1/2
KI² = (√6/6)² = 6/36 =1/6 et BK² = (√3/3)² = 3/9 =1/3 =2/6
KI²+ BK² =1/6 +2/6 =3/6 = 1/2 =BI²
BKI est rectangle en K donc les droites (AI) et (BD) sont perpendiculaires
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