bonjour
pour 2a)
pour démontrer que y= -x +e est asymptote à C, on cherche la limite de
(f(x) - y) en + ∞
= -x+e +ln(x) /x - (-x +e)
=-x+e +ln(x) /x +x -e
=lnx /x
tu utilises le théorème des croissances comparées
limite de ln(x) /x quand x -> +∞ = 0
donc Δ est asymptote oblique à C en +∞
position relative de C /t à Δ
il faut étudier le signe de f(x) - y
c'est à dire
lnx / x > 0
voir tableau de signes joint.
donc pour x ∈ ]0,1]
f(x) - y < 0 => f(x) < y
C est au dessous de de (Δ)
donc pour x ∈ [1,+∞[
f(x) - y > 0 => f(x) > y
C est au dessus de de (Δ)
pour d)
on calcule la dérivée de f(x)
f'(x) = -1 -lnx /x² + 1/x²
le coefficient directeur de (Δ) = -1
donc on doit trouver x tel que
f '(x) = -1
soit
-1 -lnx /x² + 1/x² = -1
-lnx /x² + 1/x² = -1 +1 = 0
il suffit que le numérateur soit nul, donc en définitive que :
1 - lnx = 0
lnx = 1
soit x = e
( car ln(e) = 1)
au point d'abscisse x = e
la tangente T à C est parallèle à (Δ)
pour info
l'équation de la tangente au point xo =e
y = -x + e + 1/e
si tu as des questions n'hésite pas.
