Bonjour 02maeva
La position relative de T par rapport à Cf est donnée par le signe de la différence [tex]d(x)=f(x)-(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2})[/tex]
[tex]d(x)=\dfrac{x-x^2}{x+1}-(-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2})\\\\d(x)=\dfrac{x-x^2}{x+1}+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\\\\d(x)=\dfrac{x-x^2}{x+1}+\dfrac{x-1}{2}\\\\d(x)=\dfrac{2(x-x^2)}{2(x+1)}+\dfrac{(x-1)(x+1)}{2(x+1)}\\\\d(x)=\dfrac{2x-2x^2}{2(x+1)}+\dfrac{x^2-1}{2(x+1)}\\\\d(x)=\dfrac{2x-2x^2+x^2-1}{2(x+1)}\\\\d(x)=\dfrac{-x^2+2x-1}{2(x+1)}\\\\d(x)=\dfrac{-(x^2-2x+1)}{2(x+1)}\\\\\boxed{d(x)=\dfrac{-(x-1)^2}{2(x+1)}}[/tex]
Tableau de signes de d(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\-1&&-&-&-&-&-&\\(x-1)^2&&+&+&+&0&+&\\2(x+1)&&-&0&+&+&+&\\d(x)=\frac{-(x-1)^2}{2(x+1)}&&+&||&-&0&-&\\ \end{array}\\\\\\d(x)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in]-\infty;-1[\\\\d(x)\le0\Longleftrightarrow x\in]-1;+\infty[[/tex]
Par conséquent,
Si x < -1, alors Cf est au-dessus de la tangente T.
Si x > -1, alors Cf est en-dessous de la tangente T.
