Bonjour,
1) Toutes les courbes (Cm) ont un point commun A(a;b) si :
Pour tout m réel non nul, b = 1 + a + m(eᵃ - 1)
soit : (eᵃ - 1)m + 1 + a - b = 0
ce qui implique :
eᵃ - 1 = 0 ET 1 + a - b = 0
⇒ a = 0 et b = 1
On vérifie bien que : fm(0) = 1 + 0 + m(e⁰ - 1) = 1
Donc toutes les courbes (Cm) passent par A(0;1)
2) fm(x) - (x + 1 - m)
= meˣ
tend vers 0 quand x tend vers -∞
Donc (Dm) asymptote à (Cm).
3) fm'(x) = 1 + meˣ
Si m > 0, fm'(x) > 0, donc f est strictement croissante
Si m < 0, fm'(x) = 0 ⇔ eˣ = -1/m ⇔ x = ln(-1/m)
Donc f est croissante sur ]-∞;ln(-1/m)] puis décroissante sur [ln(-1/m);+∞[
Le maximum est atteint pour x = ln(-1/m) et vaut :
fm(ln(-1/m)) = 1 + ln(-1/m) + m(-1/m - 1) = 1 + ln(-1/m) - 1 - m = ln(-1/m) - m
Si on pose X = ln(-1/m), soit e(X) = -1/m, soit encore m = -1/e(X), l'ordonnée du sommet vaut alors fm(X) = X + 1/e(X)
Les sommets des courbes (Cm) se déplacent sur la courbe d'équation y = x + 1/eˣ
4)
coordonnées de I :
xI = 2 ⇒ yI = fm(2) = 1 + 2 + m(e² - 1) = 3 + m(e² - 1)
Tangente à (Cm) en I :
y = fm'(2)(x - 2) + fm(2)
y = (1 + me²)(x - 2) + 3 + m(e² - 1)
y = (1 + me²)x + 1 - me² - m
J Intersection avec (Dm) : y = x + 1 - m
(1 + me²)x + 2 - me² - m = x + 1 - m
⇔ me²x = -1 - m + me²
⇒ xJ = 1 - (1 + m)/me²
Ordonnée de J :
yJ = xJ + 1 - m
⇒ m = xJ - yJ + 1
⇒ xJ = 1 - (1 + m)/me²
= 1 - (1 + xJ - yJ + 1)/(xJ - yJ + 1)e²
⇔ xJ = [xJ - yJ + 1 - 1 - xJ + yJ - 1]/(xJ - yJ + 1)e²
⇔ (xJ - yJ + 1)e²xJ = -1
⇔ e²xJ² - e²xJyJ + e²xJ + 1 = 0
on va noter xJ x et yJ y pour plus de lisibilité...
⇔ x - xy + x² + 1/e² = 0
⇔ xy = x + x² + 1/e²
⇔ y = (x + x²)/x + 1/e²x
⇔ y = x + 1 + 1/e²x
Sans garantie pour la dernière question que j'ai bâclée !!!
