Bonjour
Design971
Figure en pièce jointe.
Soit T le projeté orthogonal du point A sur la droite (OM).
Par Thalès dans le triangle NOM,
[tex]\dfrac{NO}{AT}=\dfrac{OM}{TM}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{NO}{AT}=\dfrac{OM}{OM-OT}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{NO}{2}=\dfrac{x}{x-1}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{NO=\dfrac{2x}{x-1}}[/tex]
Or
[tex]Aire_{Triangle\ OMN}=\dfrac{1}{2}\times OM\times ON\\\\\\Aire_{Triangle\ OMN}=\dfrac{1}{2}\times x\times\dfrac{2x}{x-1}\\\\\\\boxed{Aire_{Triangle\ OMN}=\dfrac{x^2}{x-1}}[/tex]
L'aire du triangle OMN est déterminée par une fonction f définie par [tex]f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}[/tex]
Etudions les variations de la fonction f définie sur ]1 + oo[
[tex]f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\\\\f'(x)=\dfrac{(x^2)'\times(x-1)-x^2\times(x-1)'}{(x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x\times(x-1)-x^2\times1}{(x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&1&&2&&+\infty\\x&&+&+&+&\\x-2&&-&0&+&\\(x-1)^2&&+&+&+&\\f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&f(2)=4&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, l'aire du triangle OMN est minimale si x = 2.
