Bonjour
Shyshyshy
Soit le point (a ; f(a)) les coordonnées du point de tangence de l'éventuelle tangente T à la courbe C.
L'équation de cette tangente T serait de la forme : y = f '(a)(x - a) + f(a)
Or
[tex]f(x)=\dfrac{x}{x-1}\Longrightarrow\boxed{f(a)=\dfrac{a}{a-1}}\\\\\\f(x)=\dfrac{x}{x-1}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{x'\times(x-1)-x\times(x-1)'}{(x-1)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{1\times(x-1)-x\times1}{(x-1)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{(x-1)-x}{(x-1)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}}\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(a)=\dfrac{-1}{(a-1)^2}}[/tex]
D'où, l'équation de cette tangente serait :
[tex]y=\dfrac{-1}{(a-1)^2}(x-a)+\dfrac{a}{a-1}\\\\\\y=\dfrac{-1}{(a-1)^2}x+\dfrac{a}{(a-1)^2}+\dfrac{a}{a-1}\\\\\\y=\dfrac{-1}{(a-1)^2}x+\dfrac{a}{(a-1)^2}+\dfrac{a(a-1)}{(a-1)^2}\\\\\\y=\dfrac{-1}{(a-1)^2}x+\dfrac{a}{(a-1)^2}+\dfrac{a^2-a}{(a-1)^2}\\\\\\\boxed{y=\dfrac{-1}{(a-1)^2}x+\dfrac{a^2}{(a-1)^2}}[/tex]
Le point de coordonnées (1 ; 1) appartiendrait à cette tangente.
Dans l'équation de la tangente, remplaçons x et y par 1.
[tex]1=\dfrac{-1}{(a-1)^2}\times1+\dfrac{a^2}{(a-1)^2}\\\\\\1=\dfrac{-1}{(a-1)^2}+\dfrac{a^2}{(a-1)^2}\\\\\\(a-1)^2=-1+a^2\\\\a^2-2a+1=-1+a^2\\\\a^2-a^2-2a=-1-1\\\\-2a=-2\\\\a=1[/tex]
Cela signifierait que l'abscisse du point de contact entre la courbe Cf et la tangente serait égale à 1, ce qui est impossible car la fonction f n'est pas définie en 1 puisque f est définie sur R-{1}.
Par conséquent,
Céline a raison : aucune tangente à la courbe C ne passe par le point de coordonnées (1;1)
