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Sagot :
Bonjour
Lolitomo
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\\\\overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}\\\\\boxed{3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}}[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{GA}:\ (x_A-x_G;y_A-y_G)=(2-x_G;3-y_G)\\\\\Longrightarrow\boxed{3\overrightarrow{GA}:(6-3x_G;9-3y_G)}\\\\\overrightarrow{AB}:\ (x_B-x_A;y_B-y_A)=(-4-2;2-3)=(-6;-1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}:(-6,-1)}\\\\\overrightarrow{AC}:\ (x_C-x_A;y_C-y_A)=(3-2;7-3)=(1;4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}:(1;4)}[/tex]
D'où
[tex]3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\\\\\Longleftrightarrow(6-3x_G;9-3y_G)+(-6;-1)+(1;4)=(0;0)\\\\\Longleftrightarrow(6-3x_G-6+1;9-3y_G-1+4)=(0;0)\\\\\Longleftrightarrow(-3x_G+1;12-3y_G)=(0;0)\\\\\left\{\begin{matrix}-3x_G+1=0\\12-3y_G=0\\ \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G=1\\3y_G=12\\ \end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_G=\dfrac{1}{3}\\\\y_G=4\\ \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
les coordonnées du point G sont (1/3 ; 4)
[tex]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\\\\overrightarrow{GA}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}\\\\\boxed{3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}}[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{GA}:\ (x_A-x_G;y_A-y_G)=(2-x_G;3-y_G)\\\\\Longrightarrow\boxed{3\overrightarrow{GA}:(6-3x_G;9-3y_G)}\\\\\overrightarrow{AB}:\ (x_B-x_A;y_B-y_A)=(-4-2;2-3)=(-6;-1)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}:(-6,-1)}\\\\\overrightarrow{AC}:\ (x_C-x_A;y_C-y_A)=(3-2;7-3)=(1;4)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}:(1;4)}[/tex]
D'où
[tex]3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\\\\\Longleftrightarrow(6-3x_G;9-3y_G)+(-6;-1)+(1;4)=(0;0)\\\\\Longleftrightarrow(6-3x_G-6+1;9-3y_G-1+4)=(0;0)\\\\\Longleftrightarrow(-3x_G+1;12-3y_G)=(0;0)\\\\\left\{\begin{matrix}-3x_G+1=0\\12-3y_G=0\\ \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G=1\\3y_G=12\\ \end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_G=\dfrac{1}{3}\\\\y_G=4\\ \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent,
les coordonnées du point G sont (1/3 ; 4)
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