Bonjour
Anonyme67
Exercice 1
f(x) = (x + 1)(x + 4)
[tex]a)\ f(x)=(x + 1)(x + 4)\\f(x)=x\times x+x\times4+1\times x+1\times4\\f(x)=x^2+4x+x+4\\\\\boxed{f(x)=x^2+5x+4}[/tex]
[tex]b)\ (x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}=x^2+2\times x\times\dfrac{5}{2}+(\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}=x^2+5x+\dfrac{25}{4}-\dfrac{9}{4}\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}=x^2+5x+\dfrac{16}{4}\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}=x^2+5x+4\\\\\boxed{(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}=f(x)}[/tex]
2) Résoudre les inéquations.
[tex]a)\ f(x)\ \textless \ 0\\(x+1)(x+4)\ \textless \ 0\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-4&&-1&&+\infty\\x+1&&-&-&-&0&+&\\x+4&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\(x+1)(x+4)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\(x+1)(x+4)\ \textless \ 0\Longleftrightarrow x\in\ ]-4;-1[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-4;-1[}[/tex]
[tex]b)\ f(x)\ \textless \ x^2-1\\\\x^2+5x+4\ \textless \ x^2-1\\x^2-x^2+5x+4+1\ \textless \ 0\\5x+5\ \textless \ 0\\5x\ \textless \ -5\\\\x\ \textless \ \dfrac{-5}{5}\\\\\boxed{x\ \textless \ -1}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty;-1[}[/tex]
[tex]c)\ f(x)\ \textgreater \ -\dfrac{9}{4}\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}\ \textgreater \ -\dfrac{9}{4}\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}\ \textgreater \ 0\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2\ \textgreater \ 0\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{5}{2}&&+\infty\\(x+\dfrac{5}{2})^2&&+&0&+&\\ \end{array}\\\\\\(x+\dfrac{5}{2})^2\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty;-\dfrac{5}{2}[\ \cup\ ]-\dfrac{5}{2};+\infty[[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]-\infty;-\dfrac{5}{2}[\ \cup\ ]-\dfrac{5}{2};+\infty[}[/tex]
Exercice 2
[tex](d):y=\dfrac{1}{2}x-3[/tex]
1) Nous trouverons l'ordonnée du point P en remplaçant x par 3 dans l'équation de (d).
[tex]y=\dfrac{1}{2}\times3-3\\\\y=\dfrac{3}{2}-3\\\\y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{2}\\\\\boxed{y=-\dfrac{3}{2}}[/tex]
L'ordonnée du point P est -3/2.
Par conséquent, les coordonnées du point P sont (3 ; -3/2).
2) Nous trouverons l'abscisse du point Q en remplaçant y par -4 dans l'équation de (d).
[tex]-4=\dfrac{1}{2}x-3\\\\\dfrac{1}{2}x=-4+3\\\\\dfrac{1}{2}x=-1\\\\\boxed{x=-2}[/tex]
L'abscisse du point Q est égale à -2.
Par conséquent, les coordonnées du point Q sont (-2 ; -4).
3) Le point F(-3 ; 2) appartient-il à la droite (d).
Dans l'équation de (d), remplaçons x par -3 et regardons si y = 2.
[tex]y=\dfrac{1}{2}\times(-3)-3\\\\y=-\dfrac{3}{2}-3\\\\y=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{2}\\\\y=-\dfrac{9}{2}=-4,5\\\\\boxed{y\neq2}[/tex]
Puisque y n'est pas égal à 2, le point F(-3;2) n'appartient pas à la droite (d).
Le point F(2344 ; 1169) appartient-il à la droite (d).
Dans l'équation de (d), remplaçons x par 2344 et regardons si y = 1169.
[tex]y=\dfrac{1}{2}\times2344-3\\\\y=1172-3\\\\\boxed{y=1169}[/tex].
Puisque y est égal à 1169, le point F(2344;1169) appartient à la droite (d).
4) Equation de la droite (AB).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax + b
Recherche du coefficient directeur a de la droite (AB) :
[tex]a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-2}{-4-1}=\dfrac{2}{-5}\\\\\Longrightarrow\boxed{a=-\dfrac{2}{5}}[/tex]
L'équation de la droite (AB) est donc de la forme : [tex]y=-\dfrac{2}{5}x+b[/tex]
Recherche de b.
Puisque le point A(1 ; 2) appartient à la droite (AB), nous pouvons remplacer x par 1 et y par 2 dans l'équation de (AB)
[tex]2=-\dfrac{2}{5}\times1+b\\\\2=-\dfrac{2}{5}+b\\\\b=2+\dfrac{2}{5}\\\\b=\dfrac{10}{5}+\dfrac{2}{5}\\\\\boxed{b=\dfrac{12}{5}}[/tex]
Par conséquent, l'équation de (AB) est [tex]\boxed{y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{12}{5}}[/tex]
5) Graphique en pièce jointe.
