Bonjour,
1)a. Voir pièce-jointe.
b. L(1;4)
c. (AK) : y = -x+4
(BI) : y = -3x+3
(CL) : y = -(1/3)x+13/3
d. (AK) et (BI) sont sécantes si et seulement les vecteurs AK et BI ne sont pas colinéaires.
Soient les vecteurs AK(-4;4) et BI(1;-3)
-4*(-3)-(-4)*1 = 12+4 = 16 ≠ 0
Donc AK et BI ne sont pas colinéaires, donc (AK) et (BI) sont sécantes.
e. Soit M(xM;yM) le point d'intersection entre (AK) et (BI). On détermine d'abord les coordonnées de M.
M∈(AK)∩(BI) ⇒ -xM+4 = -3xM+3 ⇒ 2xM = -1 ⇒ xM = -1/2
Donc xM = -1/2
M∈(AK) ⇒ -(-1/2)+4 = yM ⇒ yM = 9/2
Donc M(-1/2;9/2)
M∈(CL) si et seulement si -(1/3)xM+13/3 = yM
-(1/3)xM+13/3 = -(1/3)(-1/2)+13/3 = (1/6)+26/6 = 27/6 = 9/3 = yM
Donc M∈(CL)
Donc M∈(AK)∩(BI)∩(CL) donc (AK), (BI) et (CL) sont concourantes.
2. (AJ) : y = (2/3)x+1/3
(CT) : y = -(1/4)x+1
Soit N(xN;yN) le point d'intersection entre (CT) et (BI). On détermine d'abord les coordonnées de N.
N∈(CT)∩(BI) ⇒ -(1/4)xN+1 = -3xN+3 ⇒ (11/4)xN = 2 ⇒ xN = 8/11
Donc xN = 8/11
N∈(BI) ⇒ -3(8/11)+3 = yN ⇒ yN = 9/11
Donc N(8/11;9/11)
N∈(AJ) si et seulement si (2/3)xN+1/3 = yN
(2/3)xN+1/3 = (2/3)(8/11)+1/3 = (16/33)+11/33 = 27/33 = 9/11 = yN
Donc N∈(AJ)
Donc N∈(CT)∩(BI)∩(AJ) donc (AJ), (BI) et (CT) sont concourantes.
3) Soient les vecteurs AP(-4;12) , BI(1;-3) et CQ(-3;9).
On constate que AP = -4BI donc AP et BI sont colinéaires, donc (AP) et (BI) sont parallèles.
On constate que CQ = -3BI donc CQ et BI sont colinéaires, donc (CQ) et (BI) sont parallèles.
Donc les droites (AP), (CQ) et (BI) sont parallèles.
