2) a) on pose g(x)=e^t-t-1, g'(t)=e^t-1, or sur [0,+∞[ on a e^t ≥ 1 et donc e^t-1≥0
donc g(t) est strictement croissante sur [0;+∞[ de plus g(0)=0 donc sur [0,+∞[ g(x)≥0 <=> e^t-t-1≥ 0 <=> e^(t) ≥ t+1, comme t≥0 alors
<=> e^t/(t+1) ≥ 1
b) f(2)= [tex] \int\limits^2_0 { \frac{ e^{t} }{t+1} } \, dt [/tex]
or d'apres la 2)a) et la conservation de la relation d'ordre des intégrales on a
[tex]\int\limits^2_0 { \frac{ e^{t} }{t+1} } \, dt \geq \int\limits^2_0 {1} \, dx \ \textless \ =\ \textgreater \ f(2) \geq [x]2,0 \ \textless \ =\ \textgreater \ f(2) \geq 2[/tex]
3) f'(x)=e^t/(t+1) > 0 donc f(x) strictement croissante, de plus e^t/(t+1)>0 donc f(x)>0.
Deplus on a f(0)=0 et f(2)≥2, donc comme f est strictement croissante sur [0;2] et que 1 ∈ [f(0);f(2)] <=> 1∈[0;2]
donc d'après le theorème de la bijection ou TVI cela depend de ton prof, il existe une seule et unique solution c tel que f(c)=1
