Bonjour Colinurgent
[tex]\boxed{f(x)=-\dfrac{2}{3}x^2+20x}[/tex]
[tex]a)\ -\dfrac{2}{3}(x + p)^2+q=-\dfrac{2}{3}(x^2+2px+p^2)+q\\\\\Longrightarrow-\dfrac{2}{3}(x + p)^2+q=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}px-\dfrac{2}{3}p^2+q[/tex]
Déterminer ensuite les valeurs de p et de q pour que f(x) = −2/3(x + p)² + q.
[tex]f(x)=-\dfrac{2}{3}(x + p)^2+q\\\\f(x)=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}px-\dfrac{2}{3}p^2+q\\\\Or\ \ f(x)=-\dfrac{2}{3}x^2+20x\\\\Donc\\\\-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}px-\dfrac{2}{3}p^2+q=-\dfrac{2}{3}x^2+20x[/tex]
Identifions les coefficients des termes en x et des termes indépendants.
[tex]\left\{\begin{matrix}-\dfrac{4}{3}p=20\\\\-\dfrac{2}{3}p^2+q=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}p=(-\dfrac{3}{4})\times20\\\\q=\dfrac{2}{3}p^2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}p=-15\\\\q=\dfrac{2}{3}\times225 \end{matrix}\right.\\\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}p=-15\\\\q=150 \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, en remplaçant p et q dans l'expression f(x)=−2/3(x + p)² + q, nous obtenons :
[tex]\boxed{f(x)=-\dfrac{2}{3}(x-15)^2+150}[/tex]
b) Étudier le signe de l'expression f(x) − q suivant les valeurs de x.
[tex]f(x)-q=f(x)-150=-\dfrac{2}{3}(x-15)^2+150-150\\\\\Longrightarrow f(x)-150=-\dfrac{2}{3}(x-15)^2\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&15&&30\\&&&&&\\-\dfrac{2}{3}&-&-&-&-&-\\&&&&&\\(x-15)^2&+&+&0&+&+\\&&&&&\\f(x)-150&-&-&0&-&-\\ \end{array}[/tex]
D'où f(x) - 150 ≤ 0 pour tout x ∈ [0 ; 30]
c) En déduire les valeurs des dimensions au sol pour lesquelles l'aire du terrain occupé par la maison est
maximale, ainsi que la valeur de l'aire maximale.
De la question précédente, nous pouvons déduire que
f(x) ≤ 150 pour tout x ∈ [0 ; 30]
Donc, f admet un maximum égal à 150.
Cette valeur maximale est atteinte pour x = 15.
Si x = 15 alors [tex]y=20-\dfrac{2}{3}\times15=20-10=10[/tex]
Par conséquent, l'aire du terrain occupé par la maison est maximale si sa longueur du terrain mesure 15 m et si sa largeur mesure 10 m.
Dans ce cas, l'aire maximale du terrain sera égale à 150 m².
