Bonjour
Melizoou
f(x) = -10x + 4x ln(x) + 8
[tex]1)\ f'(x)=(-10x)'+(4x\ln(x))'+8'\\\\f'(x)=-10+(4x)'\times\ln(x)+4x\times(\ln(x))'+0\\\\f'(x)=-10+4\times\ln(x)+4x\times(\dfrac{1}{x})\\\\f'(x)=-10+4\ln(x)+4\\\\\boxed{f'(x)=4\ln(x)-6}[/tex]
2) Tableau de variations de f sur l'intervalle [1 ; 20].
[tex]4\ln(x)-6=0\Longrightarrow\ln(x)=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\Longrightarrow x=e^{\frac{3}{2}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&1&&e^{\frac{3}{2}}\approx4,48&&20\\&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&&f(x)&-2&\searrow&8-4e^{\frac{3}{2}}\approx-9,93&\nearrow&\approx47,66\\ \end{array}[/tex]
3) a) La fonction f est continue sur [1 ; 20].
Les variations de f montrent que sur l'intervalle [1 ; 4,48], la fonction f est strictement positive et n'admet donc pas de racine.
Sur l'intervalle [4,48 ; 20], la fonction f est strictement croissante avec f(4,48)<0 et f(20)>0.
Par le théorème de la bijection, f admet une seule racine dans l'intervalle [4,48 ; 20].
Par conséquent, f admet une seule racine α dans l'intervalle [1 ; 20].
b) Par balayage, nous trouvons que [tex]\boxed{\alpha\approx9,97}[/tex] (à 0,01 près)
c) Par conséquent,
[tex]\boxed{f(x)\le0\ si\ x\in[1;9,97]\ \ \ et\ \ \ f(x)\ge0\ si\ x\in[9,97;20]}[/tex]
4) Montrons que F'(x) = f(x)
[tex]F'(x)=(-6x^2+2x^2\ln(x)+8x)'\\\\F'(x)=(-6x^2)'+(2x^2\ln(x))'+(8x)'\\\\F'(x)=-12x+(2x^2)'\times\ln(x)+2x^2\times(\ln(x))'+8\\\\F'(x)=-12x+4x\times\ln(x)+2x^2\times(\dfrac{1}{x})+8\\\\F'(x)=-12x+4x\ln(x)+2x+8\\\\F'(x)=-10x+4x\ln(x)+8\\\\\boxed{F'(x)=f(x)}[/tex]
[tex]5)\ a)\ \int\limits_{10}^{20}f(x)\,dx=\left[-6x^2+2x^2\ln(x)+8x\right]\limits_{10}^{20}\\\\\\\int\limits_{10}^{20}f(x)\,dx=[-6\times20^2+2\times20^2\ln(20)+8\times20]\\\\-[-6\times10^2+2\times10^2\ln(10)+8\times10]\\\\\\\int\limits_{10}^{20}f(x)\,dx\approx156,5858188...-(-59,4829814)\\\\\\\boxed{\int\limits_{10}^{20}f(x)\,dx\approx216,1\ \ (\grave{a}\ 0,1\ pr\grave{e}s)}[/tex]
b) Valeur moyenne de f sur l'intervalle [10 ; 20]
[tex]\mu=\dfrac{1}{20-10}\times\int\limits_{10}^{20}f(x)\,dx\\\\\\\mu=\dfrac{1}{10}\times216,1\\\\\\\boxed{\mu\approx22\ \ (arrondi\ \grave{a}\ l'unit\acute{e})}[/tex]
6) a) La température devient positive à partir de 9,9 m, soit environ 10 m de profondeur.
b) La température minimale du capteur est d'environ -9,9 °C
c) La température moyenne mesurée entre 10 m et 20 m de profondeur est d'environ 22° C (arrondi à l'unité)
