Bonjour,
a) x²+y²-6x+2y=15 ⇒ x²-6x+9-9+y²+2y+1-1 = 15 ⇒ (x-3)²-9+(y+1)²-1 = 15 ⇒ (x-3)²+(y+1)²-10 = 15 ⇒ (x-3)²+(y+1)² = 25 ⇒ (x-3)²+(y+1)² = 5²
Donc Γ est une équation de cercle de centre O(3;-1) et de rayon r = 5
b) On sait que l'axe des ordonnées a pour équation x = 0. Donc l'intersection entre Γ et l'axe des ordonnées a pour abscisse 0.
Donc (0-3)²+(y+1)² = 25 ⇒ 9+(y+1)² = 25 ⇒ (y+1)² = 16 ⇒ y+1 = 4 ou y+1 = -4 ⇒ y = 3 ou y = -5
Donc les points d'intersection entre Γ et l'axe des ordonnées ont pour coordonnées (0;-5) et (0;3)
c) Soient A(0;-5) et B(0;3).
On sait que tout vecteur directeur de la tangente est normal à tout vecteur directeur de la droite passant par le centre et le point dont on cherche la tangente.
Soient les vecteurs OA(-3;-4) et OB(-3;4)
Soit (T1) la tangente en A, (T2) la tangente en B.
On sait que dans une équation cartésienne, tout vecteur normal à la droite a pour coordonnées (a;b).
Donc (T1) : -3x-4y+c = 0
A∈(T1) ⇒ -3(0)-4(-5)+c = 0 ⇒ 20+c = 0 ⇒ c = -20
Donc (T1) : -3x-4y-20 = 0 ⇒ 4y = -3x-20 ⇒ y = -0.75x-5
De plus, (T2) : -3x+4y+c = 0
B∈(T2) ⇒ -3(0)+4(3)+c = 0 ⇒ 12+c = 0 ⇒ c = -12
Donc (T2) : -3x+4y-12 = 0 ⇒ 4y = 3x+12 ⇒ y = 0.75x+3
