Bonjour
Moussa30
Soit x et y les dimensions du rectangle.
a) La mesure en m² de l'aire du rectangle est égale à 10.
[tex]xy=10\Longrightarrow\boxed{y=\dfrac{10}{x}}[/tex]
Notons par P(x) le périmètre de ce rectangle.
[tex]P(x)=2(x+y)\\\\P(x)=2(x+\dfrac{10}{x})[/tex]
Etudions les variations de la fonction P.
[tex]\\\\P'(x)=2(1-\dfrac{10}{x^2})\\\\P'(x)=2(\dfrac{x^2-10}{x^2})\\\\P'(x)=0\Longleftrightarrow x^2-10=0\Longleftrightarrow x^2=10\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{10}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-\sqrt{10}&&0&&\sqrt{10}&&+\infty\\&&&&&&&&&\\x^2-10&&+&0&-&-&-&0&+&\\x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\P'(x)&&+&0&-&0&-&0&+&\\P(x)&&||&||&||&||&\searrow&P(\sqrt{10})&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
D'où le périmètre du rectangle sera minimal si [tex]\boxed{x=\sqrt{10}\ m}[/tex] et [tex]\boxed{y=\dfrac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\ m}[/tex]
b) La mesure en m² de l'aire du rectangle est égale à A.
[tex]xy=A\Longrightarrow\boxed{y=\dfrac{A}{x}}[/tex]
Notons par P(x) le périmètre de ce rectangle.
[tex]P(x)=2(x+y)\\\\P(x)=2(x+\dfrac{A}{x})[/tex]
Etudions les variations de la fonction P.
[tex]\\\\P'(x)=2(1-\dfrac{A}{x^2})\\\\P'(x)=2(\dfrac{x^2-A}{x^2})\\\\P'(x)=0\Longleftrightarrow x^2-A=0\Longleftrightarrow x^2=A\Longleftrightarrow x=\pm\sqrt{A}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-\sqrt{A}&&0&&\sqrt{A}&&+\infty\\&&&&&&&&&\\x^2-A&&+&0&-&-&-&0&+&\\x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\P'(x)&&+&0&-&0&-&0&+&\\P(x)&&||&||&||&||&\searrow&P(\sqrt{A})&\nearrow&\\\end{array}[/tex]
D'où le périmètre du rectangle sera minimal si [tex]\boxed{x=\sqrt{A}\ m}[/tex] et [tex]\boxed{y=\dfrac{A}{\sqrt{A}}=\sqrt{A}\ m}[/tex]
c) Puisque le périmètre est minimum lorsque x = y, nous en déduisons que ce rectangle est un carré.
