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Bonjour voici un exercice que je n arrive pas a réaliser
L ennoncé : Dans un repère(O,I,J) du plan, on donne les points A(-2;4), B(3;5) et C(6;-2)
1 faire une figure que l on complétera après chaque question(fait)
2 déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme
3a déterminer les coordonnées du point E tel que ED-3EA=0
3b démontrer que AE=1/2 DA
4 déterminer les coordonnées du point F tel se CF=2D
5 démontrer que les points B,E et F sont alignés
6 on appelle M le milieu de de [CF] et L celui de [CB]. montrer que L est le milieu de [AM]

Sagot :

Geijutsu
Bonjour,

1. Figure en pièce-jointe.

2. Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
Donc [tex] \left[\begin{array}{ccc}3-(-2)\\5-4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6-x_D\\-2-y_D\end{array}\right] \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}5\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6-x_D\\-2-y_D\end{array}\right] \Rightarrow [/tex] [tex] \left \{ {{5=6-x_D} \atop {1=-2-y_D}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_D=1} \atop {y_D=-3}} \right.[/tex]
Donc D(1;-3)

3. a. [tex]\overrightarrow{ED}-3\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1-x_E\\-3-y_E\end{array}\right]-3\left[\begin{array}{ccc}-2-x_E\\4-y_E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right] \Rightarrow[/tex] [tex] \left \{ {{1-x_E-3(-2-x_E)=0} \atop {-3-y_E-3(4-y_E)=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{1-x_E+6+3x_E=0} \atop {-3-y_E-12+3y_E=0}} \right. \Rightarrow [/tex] [tex]\left \{ {{1-x_E+6+3x_E=0} \atop {-3-y_E-12+3y_E=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2x_E+7=0} \atop {2y_E-15=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_E=- \frac{7}{2} } \atop {y_E= \frac{15}{2} }} \right.[/tex]
Donc E(-7/2;15/2)
b. [tex]\overrightarrow{AE}\left[\begin{array}{ccc}-3.5-(-2)\\7.5-4\end{array}\right] \Rightarrow \overrightarrow{AE}\left[\begin{array}{ccc}-1.5\\3.5\end{array}\right][/tex]
[tex]\overrightarrow{DA}\left[\begin{array}{ccc}-2-1\\4-(-3)\end{array}\right] \Rightarrow \overrightarrow{DA}\left[\begin{array}{ccc}-3\\7\end{array}\right] \Rightarrow \frac{1}{2} \overrightarrow{DA}\left[\begin{array}{ccc}-1.5\\3.5\end{array}\right][/tex]
Donc [tex]\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2} \overrightarrow{DA}[/tex]

4. [tex]2\overrightarrow{DC} \left[\begin{array}{ccc}10\\2\end{array}\right] [/tex]
Et [tex]\overrightarrow{CF} \left[\begin{array}{ccc}x_F-6\\y_F-(-2)\end{array}\right] \Rightarrow \overrightarrow{CF} \left[\begin{array}{ccc}x_F-6\\y_F+2\end{array}\right][/tex]
Donc [tex]\overrightarrow{CF} =2\overrightarrow{DC} \Rightarrow \left \{ {{x_F-6=10} \atop {y_F+2=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_F=16} \atop {y_F=0}} \right. [/tex]
Donc F(16;0)

5. [tex]\overrightarrow{BE} \left[\begin{array}{ccc}-6.5\\2.5\end{array}\right][/tex] et [tex]\overrightarrow{BF} \left[\begin{array}{ccc}13\\-5\end{array}\right][/tex]
On remarque que [tex]\overrightarrow{BF}=-2\overrightarrow{BE}[/tex], donc ces deux vecteurs sont colinéaires, donc les points B, E et F sont alignés.

6. [tex]M( \frac{ x_C+x_F}{2}; \frac{ y_C+y_F}{2}) \Rightarrow M( \frac{ 6+16}{2}; \frac{ -2+0}{2}) \Rightarrow M(11;-1)[/tex]
[tex]L( \frac{ x_C+x_B}{2}; \frac{ y_C+y_B}{2}) \Rightarrow L( \frac{ 6+3}{2}; \frac{ -2+5}{2}) \Rightarrow L(4.5;1.5)[/tex]
Vérifions que le milieu de [AM] est aussi L :
[tex] \left \{ {{ \frac{ x_A+x_M}{2}=\frac{ -2+11}{2}=4.5=x_L} \atop { \frac{ y_A+y_M}{2}=\frac{ 4-1}{2}=1.5=y_L}} \right.[/tex]
Donc L est aussi le milieu de [AM].
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