Bonjour
Exercice 2 :
Initialisation :
Pour n=1 on a 1³=1=(1(1+1)/2)²=1²=1
Pour n=1 on a donc bien 1³=(1(1+1)/2)²
Hérédité :
Au rang n, on suppose qu'on a ∑i³(de 1 à n)=(n(n+1)/2)²
Au rang suivant on a ∑i³(de 1 à n+1)=∑i³(de 1 à n) + (n+1)³
∑i³(de 1 à n+1)=(n(n+1)/2))²+(n+1)³
∑i³(de 1 à n+1)=(n(n+1)/2))²+4(n+1)²(n+1)/4
∑i³(de 1 à n+1)=(n+1)²[n²+4(n+1)]/4
∑i³(de 1 à n+1)=(n+1)²(n²+4n+4)/4
∑i³(de 1 à n+1)=(n+1)²(n+2)²/4=((n+1)(n+2)/2)²
Donc quelque soit n : ∑i³(de 1 à n)=(n(n+1)/2)²
Exercice 3
On va écrire S différemment :
S=2x2²+2x2³+2x2^4+....+2x2^2017 (Ligne 1)
+2³+2^4+......+2^2017 (Ligne 2)
+2^4+...+2^2017
+.....
+2^2017 (Ligne 2016)
On pose Si=2^i+2^(i+1)+...+2^2017
On a donc :
S=2xS2+S3+S4+S5+....+S2016+2^2017
Or Si est la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 2^i
Donc Si=2^i(2^(2017-(i+1))-1)/(2-1)=2^i(2^(2018-i)-1)=2^2018-2^i
Donc S=2xS2+∑Si (de 3 à 2016) +2^2017
S=2xS2+∑(2^2018-2^i) (de 3 à 2016) + 2^2017
Or S2=2²+....+2^2017 (2016 termes)
Donc S2=2²(2^2016-1)
Donc S=2³(2^2016-1)+2014x2^2018-∑2^i (de 3 à 2016) + 2^2017
S=2x2^2018-2³+2014x2^2018-2³(2^2014-1)+2^2017
S=2x2^2018-2³+2014x2^2018-2^2017+2³
S=2x2^2018+2014x2^2018
S=2016x2^2018
Donc la bonne réponse est a)
